Яка ймовірність того, що у бригаді з семи майстрів буде точно два електрики і п ять малярів?

Янгол

29

Для решения данной задачи, мы можем использовать понятие сочетаний и вероятности. Давайте рассмотрим каждую часть задачи по отдельности.

У нас есть бригада из семи мастеров, и мы хотим найти вероятность того, что в этой бригаде будет точно два электрика и пять маляров.

Сначала посчитаем количество способов выбрать двух электриков из всех семи мастеров. Для этого мы будем использовать сочетания. В сочетаниях порядок выбранных элементов не имеет значения. Формула для сочетаний записывается следующим образом:

\({{n}\choose{k}} = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}}\),

где \(n\) - общее количество элементов в группе, а \(k\) - количество элементов, которое мы хотим выбрать.

В нашем случае \(n = 7\) (общее количество мастеров) и \(k = 2\) (количество электриков). Подставляя значения в формулу, получим:

\({{7}\choose{2}} = \frac{{7!}}{{2!(7-2)!}} = \frac{{7!}}{{2!5!}} = \frac{{7 \cdot 6}}{{2 \cdot 1}} = 21\).

Таким образом, у нас есть 21 способ выбрать двух электриков из всех семи мастеров.

Далее, мы должны выбрать пять маляров из оставшихся пяти мастеров. Опять же, используем формулу сочетаний:

\({{5}\choose{5}} = \frac{{5!}}{{5!(5-5)!}} = \frac{{5!}}{{5!0!}} = \frac{{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}{{1}} = 5!\).

Существует только один способ выбрать все пять маляров из пяти доступных.

Теперь, чтобы найти вероятность того, что в бригаде будет точно два электрика и пять маляров, мы должны разделить количество способов выбрать двух электриков и пять маляров из всех мастеров на общее количество возможных комбинаций выбрать любые семь мастеров из всех семи:

\(\text{Вероятность} = \frac{{\text{количество способов выбрать 2 электриков} \cdot \text{количество способов выбрать 5 маляров}}}{\text{общее количество способов выбрать 7 мастеров}}\).

Общее количество способов выбрать 7 мастеров равно:

\({{7}\choose{7}} = \frac{{7!}}{{7!(7-7)!}} = \frac{{7!}}{{7!0!}} = \frac{{7!}}{{1}} = 7!\).

Подставляя все значения в формулу, получаем:

\(\text{Вероятность} = \frac{{21 \cdot 1}}{{7!}}\).

\(\text{Вероятность} = \frac{{21}}{{7!}}\).

Теперь давайте вычислим эту вероятность:

\(\text{Вероятность} = \frac{{21}}{{7!}} = \frac{{21}}{{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = \frac{{21}}{{5040}} \approx 0.0041667\).

Таким образом, вероятность того, что в бригаде из семи мастеров будет точно два электрика и пять маляров, равна приблизительно 0.0041667, или округленно до четырех знаков после запятой - 0.0042.

Надеюсь, это понятно! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.