2. Найдите значения трех следующих членов последовательности, если a1=3 и an=2⋅an−1+2. Ваши ответы: А) -6 Б) 8

Edinorog

13

2. Чтобы найти значения трех следующих членов последовательности, мы можем использовать данное рекуррентное соотношение: \(a_n = 2 \cdot a_{n-1} + 2\), где \(a_1 = 3\). Давайте пошагово решим эту задачу:

- \(a_1 = 3\)
- \(a_2 = 2 \cdot a_1 + 2 = 2 \cdot 3 + 2 = 8\)
- \(a_3 = 2 \cdot a_2 + 2 = 2 \cdot 8 + 2 = 18\)
- \(a_4 = 2 \cdot a_3 + 2 = 2 \cdot 18 + 2 = 38\)

Таким образом, значения трех следующих членов последовательности будут: А) 8, В) 18, Г) 38.

3. Для вычисления первых трех членов последовательности (yn) по данной формуле \(y_n = 3n^2 - 7n\) мы должны подставить значения от 1 до 3 вместо n. Давайте сделаем это:

- \(y_1 = 3 \cdot 1^2 - 7 \cdot 1 = -4\)
- \(y_2 = 3 \cdot 2^2 - 7 \cdot 2 = -5\)
- \(y_3 = 3 \cdot 3^2 - 7 \cdot 3 = 6\)

Таким образом, первые три члена последовательности (yn) будут: А) [-4, -2, 6].

4. Для определения, является ли последовательность ограниченной, нужно анализировать ее члены. В данной последовательности 1; -1; 1; -2; 1; -3... значение членов постоянно меняется. Однако, мы видим, что модуль значений последовательности не ограничен. То есть, можно выбрать очень большие значения для последовательности. Поэтому ответ: Б) нет.

5. Чтобы определить характер последовательности (возрастающая или убывающая), мы можем рассмотреть разность между последовательными членами. Данная формула имеет вид \(x_n = \frac{n}{2^9n}\). Поставим разность между последовательными членами в выражение: \(y_{n+1} - y_n = \frac{n+1}{2^{9(n+1)}} - \frac{n}{2^{9n}}\). Давайте упростим это выражение:

\begin{align*}
y_{n+1} - y_n &= \frac{n+1}{2^{9(n+1)}} - \frac{n}{2^{9n}} \\
&= \frac{n+1}{2^{9n+9}} - \frac{n}{2^{9n}} \\
&= \frac{n+1}{2 \cdot 2^{9n}} - \frac{n}{2^{9n}} \\
&= \frac{n+1-n}{2^{9n}} \\
&= \frac{1}{2^{9n}}
\end{align*}

Как мы видим, разность между последовательными членами равна \(\frac{1}{2^{9n}}\). Так как данная дробь всегда положительна и меньше 1, мы можем заключить, что каждый последующий член последовательности (xn) будет немного меньше предыдущего. Следовательно, последовательность является убывающей. Найдем выражение для разности между последовательными членами: \(y_{n+1} - y_n = \frac{1}{2^{9n}}\).