29.11.2021 Session N 13n Mathematical Circle, School 179, Grades 5-7. Beginners Test Problems Problem 13n.1
29.11.2021 Session N 13n Mathematical Circle, School 179, Grades 5-7. Beginners "Test" Problems Problem 13n.1. In the figure on the right, there are 5 rectangles in the 1st figure, 9 in the 2nd, and 13 in the 3rd. If we continue to create figures, how many rectangles will there be in the 10th figure? Problem 13n.2. On a circle, there are 100 points. A grasshopper jumps on the points clockwise until it returns to the starting point. How many different points will it visit in total if it jumps not consecutively, but a) every other point; b) every 3rd point; c) every 2nd point? Problem 13.3. A square is cut in half and formed by two resulting pieces.
Morskoy_Kapitan 68
Давайте начнем с решения задачи 13n.1. В этой задаче нам даны фигуры, состоящие из прямоугольников, и нам нужно определить количество прямоугольников в 10-й фигуре.Давайте рассмотрим количество прямоугольников в каждой фигуре по порядку. В первой фигуре у нас есть 5 прямоугольников, во второй - 9, а в третьей - 13. Заметим, что каждая следующая фигура добавляет 4 прямоугольника. Таким образом, мы можем выразить количество прямоугольников в i-й фигуре, используя формулу:
\[ \text{{количество прямоугольников в i-й фигуре}} = 5 + 4 \cdot (i - 1) \]
Теперь нам нужно найти количество прямоугольников в 10-й фигуре. Подставим i = 10 в формулу:
\[ \text{{количество прямоугольников в 10-й фигуре}} = 5 + 4 \cdot (10 - 1) \]
\[ \text{{количество прямоугольников в 10-й фигуре}} = 5 + 4 \cdot 9 \]
\[ \text{{количество прямоугольников в 10-й фигуре}} = 5 + 36 \]
\[ \text{{количество прямоугольников в 10-й фигуре}} = 41 \]
Таким образом, в 10-й фигуре всего будет 41 прямоугольник.
Перейдем теперь к задаче 13n.2, где нам нужно выяснить, сколько различных точек посетит кузнечик, прыгая по точкам на окружности.
а) Если кузнечик прыгает через одну точку, то он посетит половину от общего числа точек. В данном случае у нас 100 точек, поэтому кузнечик посетит \( \frac{100}{2} = 50 \) различных точек.
б) Если кузнечик прыгает через каждую 3-ю точку, то он будет посещать только те точки, которые делятся на 3 без остатка. В нашем случае, на окружности 100 точек, и только каждая 3-я точка удовлетворяет этому условию. Поэтому количество различных точек, которые он посетит, будет равно \( \frac{100}{3} \approx 33.33 \). Так как мы говорим о целочисленном количестве точек, то он посетит 33 различных точки.
в) Если кузнечик прыгает через каждую 2-ю точку, то он будет посещать только каждую вторую точку на окружности. Так как на окружности 100 точек, и он будет прыгать через каждую вторую точку, то он посетит \( \frac{100}{2} = 50 \) различных точек.
Таким образом, ответы на вторую задачу:
а) Кузнечик посетит 50 различных точек.
б) Кузнечик посетит 33 различных точки.
в) Кузнечик посетит 50 различных точек.
Переходим к третьей задаче 13.3. Пожалуйста, предоставьте текст задачи, и я смогу помочь вам с решением.