Докажите увеличение последовательности: cn=5n/n+1. ответ: 1. Укажите, какое неравенство верно для установившейся

Лазерный_Робот

17

Для доказательства увеличения последовательности cn = 5n / (n + 1), мы можем рассмотреть отношение каждого члена последовательности к следующему члену. Чтобы найти установившееся поведение последовательности, мы вычислим предел этого отношения при n стремящемся к бесконечности.

Для начала, рассмотрим отношение c1 / c2:

c1 / c2 = (5 * 1) / (1 + 1) = 5/2

Затем рассмотрим отношение c2 / c3:

c2 / c3 = (5 * 2) / (2 + 1) = 10/3

Мы видим, что отношение c1 / c2 больше, чем отношение c2 / c3. Для доказательства увеличения последовательности воспользуемся предположением, что в каждом следующем члене последовательности отношение будет уменьшаться.

Допустим, что c2 / c3 > c3 / c4 > ... > cn / cn+1, и попытаемся доказать, что cn / cn+1 > cn+1 / cn+2.

Рассмотрим отношение cn / cn+1:

cn / cn+1 = (5n / (n + 1)) / (5(n + 1) / ((n + 1) + 1)) = 5n(n + 2) / (n + 1)(n + 1)

Затем рассмотрим отношение cn+1 / cn+2:

cn+1 / cn+2 = (5(n + 1) / ((n + 1) + 1)) / (5(n + 2) / ((n + 2) + 1)) = 5(n + 1)(n + 3) / (n + 2)(n + 2)

Чтобы доказать, что последовательность увеличивается, нам нужно установить неравенство cn / cn+1 > cn+1 / cn+2. Для этого сравним значения:

(5n(n + 2) / (n + 1)(n + 1)) > (5(n + 1)(n + 3) / (n + 2)(n + 2))

Распространяя выражение, получим:

5n(n + 2)(n + 2) > (n + 1)(n + 1)(n + 1)(n + 3)

Упрощая:

5n(n + 2)(n + 2) > (n + 1)(n + 1)(n + 1)(n + 3)

5n(n + 2) > (n + 1)(n + 1)(n + 3)

Раскроем скобки:

5n^2 + 10n > n^3 + 5n^2 + 10n + 3n + 3

Упростим:

0 > n^3 + 3n^2 + 3n + 3

Мы видим, что неравенство не выполняется для всех n, так как левая сторона неравенства равна 0. Поэтому мы можем сделать вывод, что предположение неверно, и последовательность не увеличивается.

В итоге, мы не можем доказать увеличение последовательности cn = 5n / (n + 1).