2Как можно решить данную систему уравнений с помощью трех методов: метода сложения, метода подстановки и графического

Solnechnyy_Kalligraf

24

Конечно! Решим данную систему уравнений с помощью трех разных методов: метода сложения, метода подстановки и графического метода.

Данная система уравнений имеет вид:
\[
\begin{cases}
y = 2x - 1 \\
2y = x + 4
\end{cases}
\]

1. Метод сложения (метод исключения):
Для применения этого метода, нужно сложить оба уравнения таким образом, чтобы одна из неизвестных (x или y) уничтожилась при сложении. Затем полученное уравнение решить относительно оставшейся неизвестной.

Сложим оба уравнения:
\[
\begin{align*}
(y) + (2y) &= (2x - 1) + (x + 4) \\
3y &= 3x + 3
\end{align*}
\]

Теперь решим полученное уравнение относительно y:
\[
\begin{align*}
3y &= 3x + 3 \\
y &= \frac{3x + 3}{3} \\
y &= x + 1
\end{align*}
\]

Заметим, что мы получили уравнение, которое зависит только от одной переменной, y. Теперь мы можем подставить это значение обратно в любое из исходных уравнений и найти значение x:
\[
\begin{align*}
y &= x + 1 \\
x + 1 &= 2x - 1 \\
x &= 2
\end{align*}
\]

Таким образом, мы нашли значения для x и y: x = 2 и y = 3.

2. Метод подстановки:
Для применения этого метода, мы будем использовать одно из уравнений и решать его относительно одной из неизвестных. Затем найденное значение подставляем в другое уравнение и решаем его относительно оставшейся неизвестной.

Возьмем первое уравнение, в котором y уже выражено через x:
\[
y = 2x - 1
\]

Теперь мы подставим это значение во второе уравнение:
\[
2y = x + 4
\]

Заменим y на 2x - 1:
\[
2(2x - 1) = x + 4
\]

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:
\[
4x - 2 = x + 4
\]

Вычтем x из обеих частей уравнения и прибавим 2:
\[
3x = 6
\]

Разделим обе части на 3:
\[
x = 2
\]

Теперь подставим найденное значение x обратно в первое уравнение:
\[
y = 2(2) - 1
\]

Выполним вычисления и найдем значение y:
\[
y = 3
\]

Таким образом, мы получили те же значения x = 2 и y = 3.

3. Графический метод:
Для графического метода, построим графики обоих уравнений на координатной плоскости и найдем точку их пересечения.

Для первого уравнения, когда y = 2x - 1, создадим таблицу значений, выберем несколько значений для x и найдем соответствующие значения y:
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y \\
\hline
-2 & -5 \\
0 & -1 \\
2 & 3 \\
\hline
\end{array}
\]

Построим точки на графике для первого уравнения.

Для второго уравнения, когда 2y = x + 4, также создадим таблицу значений и найдем соответствующие значения y:
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y \\
\hline
-6 & -5 \\
0 & 2 \\
6 & 7 \\
\hline
\end{array}
\]

Построим точки на графике для второго уравнения.

Теперь посмотрим на графики обоих уравнений и найдем точку их пересечения. В данном случае, точка пересечения находится в точке (2, 3), что подтверждает ранее найденные значения x = 2 и y = 3.

Таким образом, все три метода дали одинаковый результат: x = 2 и y = 3.