№3 Geometry Test. Similarity of triangles . Variant II. I. Triangles FDC and F1D are similar, with FD

Dobryy_Drakon

19

Хорошо! Давайте по порядку решим каждую задачу.

I. В данной задаче мы имеем два подобных треугольника, FDC и F1D. Соответствующие стороны FD и FC соответствуют стороне F1D. Нам даны следующие значения: FD = 6 см, FC = 8 см, F1D = 3 см и F1C = 4 см.

Для решения этой задачи нам необходимо найти значения остальных сторон треугольника F1D. Для этого мы можем использовать пропорции подобных треугольников.

Пропорции гласят, что отношение длин одинаковых сторон двух подобных треугольников равно. То есть мы можем записать следующее:
\(\frac{FD}{F1D} = \frac{FC}{F1C}\)

Подставим значения, которые нам даны:
\(\frac{6}{3} = \frac{8}{4}\)

Упростив выражение, получим:
2 = 2

Как видите, оба выражения равны, что означает, что треугольники FDC и F1D действительно подобны.

Теперь, зная это, мы можем использовать пропорции, чтобы найти значения сторон треугольника FDC.

Пропорции гласят, что отношение длин сторон подобных треугольников также равно. То есть мы можем записать следующее:
\(\frac{FD}{F1D} = \frac{FC}{F1C} = \frac{DC}{1}\)

Подставим значения, которые нам даны:
\(\frac{6}{3} = \frac{8}{4} = \frac{DC}{1}\)

Упростив выражение, получим:
2 = 2 = DC

Таким образом, сторона DC треугольника FDC также равна 2 см.

Ответ: Длина стороны DC треугольника FDC равна 2 см.

II. В этой задаче нам дан треугольник ABC, в котором проведена биссектриса MN, причем AN = Sem. - bdsm и AC = 12 см.

Вам нужно найти значения AN, MN и NB.

Для начала найдем значение AN.

Биссектриса треугольника делит противоположную ей сторону на две отрезка, пропорции которых равны. То есть мы можем записать следующее:
\(\frac{AN}{NC} = \frac{AB}{BC}\)

Подставим значения, которые нам даны:
\(\frac{AN}{NC} = \frac{AB}{BC} = \frac{Sem. - bdsm}{12}\)

Упростив выражение, получим:
\(\frac{AN}{NC} = \frac{Sem. - bdsm}{12}\)

Таким образом, мы выразили AN через NC.

Теперь применим теорему синусов в треугольнике ABC:
\(\frac{AN}{\sin(\angle ABC)} = \frac{AC}{\sin(\angle BAC)}\)

Известно, что \(\angle ABC = \angle BAC\), так как биссектриса делит угол пополам. Поэтому у нас получается:
\(\frac{AN}{\sin(\angle ABC)} = \frac{AC}{\sin(\angle ABC)}\)

Подставим значения, которые нам даны:
\(\frac{AN}{\sin(\angle ABC)} = \frac{12}{\sin(\angle ABC)}\)

Упростив выражение, получим:
AN = 12

Таким образом, мы нашли значение стороны AN, которое равно 12 см.

Теперь, зная что AN = Sem. - bdsm, мы можем найти значения Sem. и bdsm:
Sem. = AN + bdsm = 12 + bdsm

Ответ: Значение Sem. равно 12 + bdsm.

III. В данной задаче нам дан трапеция, у которой точка пересечения диагоналей делит одну из диагоналей на два отрезка длиной 7 см и 11 см. Разность основ трапеции равна 16 см.

Для решения этой задачи, нам нужно найти значения каждой из основ трапеции.

Диагонали трапеции делятся точкой пересечения на две отрезка, пропорции которых равны. То есть мы можем записать следующее:
\(\frac{AB}{CD} = \frac{11}{7}\)

Подставим значение разности основ:
AB - CD = 16

Теперь мы можем записать систему уравнений:
\(\begin{cases} AB - CD = 16 \\ \frac{AB}{CD} = \frac{11}{7} \end{cases}\)

Мы можем решить эту систему уравнений. Давайте найдем значение AB.

Из второго уравнения системы получаем:
AB = \(\frac{11}{7}\)CD

Подставим это значение в первое уравнение:
\(\frac{11}{7}\)CD - CD = 16

Упростим выражение:
\(\frac{4}{7}\)CD = 16

Умножим обе части уравнения на \(\frac{7}{4}\):
CD = 28

Теперь, зная значение CD, мы можем найти значение AB:
AB = \(\frac{11}{7}\)CD = \(\frac{11}{7}\) * 28 = 44

Таким образом, основы трапеции равны: AB = 44 см и CD = 28 см.

Ответ: Значение основы AB равно 44 см, а значение основы CD равно 28 см.

IV. В данной задаче у нас есть окружность с двумя хордами AB и CD, пересекающимися в точке K. Нам также известно, что SK = bdsm.

Нам необходимо найти значение bdsm.

Если хорды пересекаются внутри окружности, то произведения длин их отрезков равны. То есть мы можем записать следующее:
AK * KB = CK * KD

Подставим значение SK:
AK * KB = CK * KD = Sk - bdsm * (bdsm - Sk)

Упростим выражение:
(AK - Sk) * (KB - Sk) = Sk * (bdsm - Sk)

Отсюда, мы можем найти значение bdsm:
bdsm = (AK - Sk) * (KB - Sk) / Sk + Sk

Ответ: Значение bdsm равно (AK - Sk) * (KB - Sk) / Sk + Sk.