3. Напишите уравнения и постройте графики скорости, пути и перемещения в зависимости от времени, исходя из уравнения

Японец

52

Для начала, давайте выразим уравнение скорости \(V(t)\) для каждого из уравнений координат \(x_1\), \(x_2\), и \(x_3\).

Для \(x_1 = -5 + t\), чтобы найти скорость, нам нужно найти производную этого уравнения по времени \(t\). Получившаяся производная будет выражать скорость объекта в данной точке времени. В данном случае, скорость постоянна и равна 1. Таким образом, уравнение скорости для \(x_1\) будет выглядеть следующим образом:

\[V_1(t) = 1\]

Аналогично для \(x_2 = 5 - t\), производная будет равна -1, так как объект движется в обратном направлении. Уравнение скорости для \(x_2\) будет:

\[V_2(t) = -1\]

Наконец, для \(x_3\) нам нужно снова найти производную \(x_3 = \sin(t)\). Производная синуса равна косинусу, таким образом, скорость \(V_3(t)\) будет равна косинусу времени:

\[V_3(t) = \cos(t)\]

Теперь, чтобы построить графики скорости, пути и перемещения в зависимости от времени, мы можем использовать полученные уравнения скорости.

График скорости для \(x_1\) и \(x_2\) будет просто горизонтальной линией, так как скорость постоянна:

\[
\begin{array}{l}
\text{Для $x_1$:} \quad V_1(t) = 1 \\
\text{Для $x_2$:} \quad V_2(t) = -1 \\
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{ccc}
\text{Время (t)} & \text{Скорость } V_1(t) & \text{Скорость } V_2(t) \\
\hline
0 & 1 & -1 \\
1 & 1 & -1 \\
2 & 1 & -1 \\
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{ccc}
\text{Время (t)} & \text{Скорость } V_1(t) & \text{Скорость } V_2(t) \\
\hline
\ldots & \ldots & \ldots \\
-2 & 1 & -1 \\
-1 & 1 & -1 \\
0 & 1 & -1 \\
\end{array}
\]

Для \(x_3\), график скорости будет колебаться в соответствии с графиком функции \(y = \cos(t)\). Предлагаю ниже график скорости для \(x_3\):

\[V_3(t) = \cos(t)\]

\[
\begin{array}{ccc}
\text{Время (t)} & \text{Скорость } V_3(t) \\
\hline
0 & 1 \\
1 & 0.540 \\
2 & -0.416 \\
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{ccc}
\text{Время (t)} & \text{Скорость } V_3(t) \\
\hline
\ldots & \ldots \\
-2 & -0.416 \\
-1 & 0.540 \\
0 & 1 \\
\end{array}
\]

На графиках пути и перемещения мы можем использовать найденные уравнения скорости. Начнём с уравнения скорости \(V_1(t) = 1\) для \(x_1\).

Интегрируя скорость по времени, мы получаем уравнение пути \(S_1(t)\) для \(x_1\):

\[
S_1(t) = \int V_1(t) \, dt = \int 1 \, dt = t + C_1
\]

где \(C_1\) - произвольная постоянная интегрирования. Чтобы определить значение \(C_1\), нам нужно знать начальное положение объекта. Если объект находится в точке \((-5)\) в момент времени \(t = 0\), мы можем использовать это значение. Таким образом, окончательное уравнение пути для \(x_1\) будет:

\[
S_1(t) = t - 5
\]

Аналогично для \(x_2\), с уравнением скорости \(V_2(t) = -1\), интегрируя по времени, получим уравнение пути \(S_2(t)\):

\[
S_2(t) = \int V_2(t) \, dt = \int -1 \, dt = -t + C_2
\]

Используя значение начального положения объекта \(x_2 = 5\) при \(t = 0\), окончательное уравнение пути для \(x_2\) будет:

\[
S_2(t) = -t + 5
\]

Наконец, для \(x_3\) мы можем использовать уравнение пути, которое получается интегрированием скорости \(V_3(t) = \cos(t)\):

\[
S_3(t) = \int V_3(t) \, dt = \int \cos(t) \, dt = \sin(t) + C_3
\]

Если мы предположим, что начальное положение объекта \(x_3\) в момент \(t = 0\) равно 0, окончательное уравнение пути для \(x_3\) будет:

\[
S_3(t) = \sin(t)
\]

Теперь у нас есть графики скорости, пути и перемещения в зависимости от времени для всех трех уравнений координат \(x_1\), \(x_2\) и \(x_3\).