3. В параллелограмме ОВСА с заданными координатами вершин В(3;2) и О(0;0) и известной длиной ОА = 6, требуется найти

Владимирович

47

Для решения данной задачи, нам потребуется использовать свойства параллелограмма и формулу для вычисления расстояния между двумя точками на плоскости.

Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны и равны по длине.

Итак, у нас даны координаты вершин B(3;2) и O(0;0), а также длина OA = 6.

Для начала построим вектор ОА. Вычитая координаты O из координат B, получим вектор ОА:

\[\overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} 3-0 \\ 2-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}\]

Теперь построим координаты вершины C. Так как параллелограмм ОВСА, а вершина C противоположна вершине B, мы можем получить координаты C, сложив вектор ОА с координатами вершины B:

\[\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}\]

\[\overrightarrow{OC} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix}\]

Значит, координаты вершины C равны C(6;4).

Для нахождения длины AC, мы можем использовать формулу для расстояния между двумя точками на плоскости:

\[AC = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]

Подставим координаты точек A(0,0) и C(6,4) в данную формулу:

\[AC = \sqrt{(6 - 0)^2 + (4 - 0)^2}\]

\[AC = \sqrt{36 + 16}\]

\[AC = \sqrt{52}\]

Упростим корень:

\[AC = 2\sqrt{13}\]

Таким образом, длина AC равна \(2\sqrt{13}\).

Чтобы найти расстояние ОС, мы можем использовать свойство параллелограмма, согласно которому диагонали параллелограмма делятся пополам.

Таким образом, ОС — это половина диагонали AC. Длина диагонали AC равна \(2\sqrt{13}\), поэтому:

\[OC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{13} = \sqrt{13}\]

Расстояние ОС равно \(\sqrt{13}\).

Таким образом, мы нашли следующие результаты:

Длина АС = \(2\sqrt{13}\)

Расстояние ОС = \(\sqrt{13}\)

Координаты вершины C = (6;4)