3. Являются ли алгебраическими операции сложение, умножение и вычитание на множестве X={-1,0,1}? 4. Являются

Skvoz_Pesok_1053

62

3. В данной задаче необходимо проверить, являются ли операции сложение, умножение и вычитание алгебраическими на множестве X={-1, 0, 1}.

a) Сложение:
Для проверки, проведем все возможные операции сложения на данном множестве:
-1 + (-1) = -2
-1 + 0 = -1
-1 + 1 = 0
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 1 = 2

Мы видим, что результаты сложения чисел из множества X также содержатся в множестве X. Таким образом, операция сложения является алгебраической на данном множестве.

b) Умножение:
Теперь проверим операцию умножения на множестве X:
-1 * (-1) = 1
-1 * 0 = 0
-1 * 1 = -1
0 * 0 = 0
0 * 1 = 0
1 * 1 = 1

Мы видим, что результаты умножения чисел из множества X также содержатся в множестве X. Значит, операция умножения также является алгебраической на данном множестве.

c) Вычитание:
Наконец, проверим операцию вычитания на множестве X:
-1 - (-1) = 0
-1 - 0 = -1
-1 - 1 = -2
0 - 0 = 0
0 - 1 = -1
1 - 1 = 0

Результаты вычитания чисел из множества X также принадлежат множеству X. Значит, операция вычитания является алгебраической на данном множестве.

Таким образом, все три операции - сложение, умножение и вычитание, являются алгебраическими на множестве X={-1, 0, 1}.

4. В данной задаче необходимо проверить, являются ли операции сложение, умножение, деление и вычитание алгебраическими на различных множествах.

a) X - множество четных натуральных чисел:
Сложение: Множество четных натуральных чисел замкнуто относительно сложения, так как сумма двух четных чисел всегда будет четным числом.
Умножение: Аналогично, множество четных натуральных чисел замкнуто относительно умножения.
Деление: При делении четного числа на другое четное число результат может быть как целым числом, так и нецелым. Значит, множество четных натуральных чисел не является замкнутым относительно деления.
Вычитание: Вычитание в данном случае также может привести к результатам, которые не являются четными числами. Следовательно, множество четных натуральных чисел не является замкнутым относительно вычитания.

b) X - множество нечетных натуральных чисел:
Сложение: Множество нечетных натуральных чисел также замкнуто относительно сложения, так как сумма двух нечетных чисел всегда будет нечетным числом.
Умножение: Аналогично, множество нечетных натуральных чисел замкнуто относительно умножения.
Деление: При делении нечетного числа на другое нечетное число результат может быть как целым числом, так и нецелым. Значит, множество нечетных натуральных чисел не является замкнутым относительно деления.
Вычитание: Вычитание в данном случае также может приводить к результатам, которые не являются нечетными числами. Следовательно, множество нечетных натуральных чисел не является замкнутым относительно вычитания.

c) X - множество натуральных чисел, кратных 5:
Сложение: При сложении двух чисел, кратных 5, результат также будет числом, кратным 5. Значит, множество натуральных чисел, кратных 5, замкнуто относительно сложения.
Умножение: Умножение двух чисел, кратных 5, также даст результат, кратный 5. Следовательно, множество натуральных чисел, кратных 5, замкнуто относительно умножения.
Деление: Если кратное 5 число делится на другое кратное 5 число, результатом всегда будет целое число. Значит, множество натуральных чисел, кратных 5, замкнуто относительно деления.
Вычитание: Вычитание чисел, кратных 5, также приведет к результатам, кратным 5. Таким образом, множество натуральных чисел, кратных 5, замкнуто относительно вычитания.

Таким образом, в случае а) множество четных натуральных чисел не является замкнутым относительно деления и вычитания, в случае б) множество нечетных натуральных чисел не замкнуто относительно деления и вычитания, а в случае с) множество натуральных чисел, кратных 5, является замкнутым относительно всех операций.

5. Определение истинности утверждений:

a) Множество натуральных чисел N является замкнутым относительно умножения.
Это утверждение является истинным. При умножении двух натуральных чисел результат всегда будет принадлежать множеству натуральных чисел. Таким образом, множество N замкнуто относительно умножения.

b) Множество рациональных чисел Q является замкнутым относительно деления (деление на ноль).
Это утверждение является ложным. При делении любого числа на ноль, результатом будет бесконечность или неопределенность, что не принадлежит множеству Q. Таким образом, множество рациональных чисел Q не является замкнутым относительно деления на ноль.

Надеюсь, мои ответы были полезными и понятными! Если у вас возникнут еще вопросы - не стесняйтесь задавать!