3. Знайти висоту призми, яка має основу рівнобедреного трикутника з бічною стороною довжиною 6 см і кутом 120°

Золотой_Горизонт

15

Задача заключается в нахождении высоты призмы, основой которой является равнобедренный треугольник со стороной длиной 6 см и углом 120° в вершине. Диагональ боковой грани призмы, лежащей в плоскости основы равнобедренного треугольника, наклонена под углом 60° к плоскости основания.

Давайте разберемся пошагово:

1. Найдем высоту треугольника, который является основой призмы. Для этого воспользуемся теоремой синусов. У нас есть сторона треугольника длиной 6 см и угол 120° при вершине треугольника. Используя формулу, получим:

\[\frac{{h}}{{\sin 120°}} = \frac{{6}}{{\sin 30°}}\]

Угол 120° при вершине треугольника соответствует двум равным углам при основании, поэтому мы используем синусы углов 30° и 120°, которые равны \(\frac{1}{2}\).

\[\frac{{h}}{{\frac{1}{2}}} = \frac{{6}}{{\frac{\sqrt{3}}{2}}}\]
\[2h = \frac{{6 \cdot 2}}{{\sqrt{3}}}\]
\[2h = \frac{{12}}{{\sqrt{3}}}\]
\[h = \frac{{12}}{{2 \cdot \sqrt{3}}}\]
\[h = \frac{{6}}{{\sqrt{3}}}\]

2. Теперь найдем длину диагонали боковой грани призмы, которая лежит в плоскости основы треугольника. Для этого воспользуемся тригонометрическими соотношениями. Пусть длина диагонали обозначается как "d":

\[\cos 60° = \frac{{d}}{{6}}\]

Угол 60° образован плоскостью основания и диагональю боковой грани, поэтому мы используем косинус этого угла. Косинус 60° равен \(\frac{1}{2}\):

\[\frac{1}{2} = \frac{{d}}{{6}}\]

Перемножаем обе стороны на 6, чтобы избавиться от знаменателя:

\[3 = d\]

Теперь у нас есть длина диагонали боковой грани "d", которая равна 3 см.

3. Наконец, находим высоту призмы. Высота призмы равна проекции диагонали боковой грани на плоскость основания. Для этого мы можем умножить длину диагонали на синус угла между этой диагональю и плоскостью основания.

\[\text{Высота призмы} = 3 \cdot \sin 60°\]

Угол 60° образован диагональю боковой грани и плоскостью основания призмы, поэтому мы используем синус этого угла. Синус 60° равен \(\frac{\sqrt{3}}{2}\):

\[\text{Высота призмы} = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}\]

Таким образом, высота призмы равна \(\frac{3\sqrt{3}}{2}\) см.

Вариант ответа: г) \(\frac{3\sqrt{3}}{2}\) см.