30.1. Каковы максимальный и минимальный углы треугольника ABC, если длины сторон равны AB = 7 см, ВС = 8 см и CA

Артемович

54

Для решения данной задачи нам понадобится знание теоремы косинусов и свойств треугольников.

Теорема косинусов устанавливает связь между длинами сторон треугольника и косинусами его углов. Согласно этой теореме, для треугольника ABC с сторонами a, b и c и углом α, противолежащим стороне a, верно следующее уравнение:

\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(\alpha)\]

Мы можем использовать эту теорему для нахождения максимального и минимального углов треугольника ABC.

Для начала, найдем угол α. Подставим известные значения длин сторон:

\[7^2 = 8^2 + c^2 - 2 \cdot 8 \cdot c \cdot \cos(\alpha)\]

Упростим это уравнение:

\[49 = 64 + c^2 - 16c \cdot \cos(\alpha)\]

\[c^2 - 16c \cdot \cos(\alpha) - 15 = 0\]

Теперь решим это квадратное уравнение относительно c. Мы знаем, что длина стороны треугольника не может быть отрицательной, поэтому выберем только положительное значение:

\[c = \frac{16\cos(\alpha) + \sqrt{16^2\cos^2(\alpha) + 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2} = 8\cos(\alpha) + \sqrt{64\cos^2(\alpha) + 15}\]

Теперь у нас есть выражение для длины стороны c в зависимости от угла α. Максимальное значение угла α будет достигаться при минимальном значении косинуса, а минимальное значение угла α - при максимальном значении косинуса. Зная, что косинус угла не может быть больше 1 и меньше -1, мы можем найти максимальный и минимальный углы треугольника.

Максимальный угол α будет достигаться при минимальном значении косинуса, то есть при \(\cos(\alpha) = -1\). Подставим это значение в выражение для c:

\[c_{max} = 8\cos(\alpha) + \sqrt{64\cos^2(\alpha) + 15} = 8(-1) + \sqrt{64(-1)^2 + 15} = -8 + \sqrt{64 + 15} = -8 + \sqrt{79}\]

Минимальный угол α будет достигаться при максимальном значении косинуса, то есть при \(\cos(\alpha) = 1\). Подставим это значение в выражение для c:

\[c_{min} = 8\cos(\alpha) + \sqrt{64\cos^2(\alpha) + 15} = 8(1) + \sqrt{64(1)^2 + 15} = 8 + \sqrt{64 + 15} = 8 + \sqrt{79}\]

Таким образом, максимальный угол треугольника ABC равен \(-8 + \sqrt{79}\) градусов, а минимальный угол равен \(8 + \sqrt{79}\) градусов.