Каков объем и площадь поверхности правильной треугольной призмы с основанием длиной 2 см и высотой 13√3

Robert

28

Для начала, давайте определимся с терминами. Правильная треугольная призма - это трехмерное тело, которое имеет треугольное основание и все его грани являются прямоугольными треугольниками. Объем призмы - это объем пространства, занимаемого этим телом, а площадь поверхности - это сумма площадей всех его граней.

Теперь, для нашей задачи, у нас есть правильная треугольная призма с основанием длиной 2 см и высотой 13√3 см. Чтобы найти объем, мы должны умножить площадь основания на высоту призмы. Площадь основания треугольной призмы можно найти с помощью следующей формулы:

\[S_{\text{осн}} = \frac{{a \cdot h}}{2}\]

Где \(a\) - длина стороны треугольника, а \(h\) - высота треугольника.

Для нашей призмы, длина стороны треугольника равна 2 см, а высота треугольника равна 13√3 см. Подставим значения в формулу:

\[S_{\text{осн}} = \frac{{2 \cdot 13\sqrt{3}}}{2}\]

Упростим выражение:

\[S_{\text{осн}} = 13\sqrt{3}\]

Таким образом, площадь основания призмы равна 13√3 квадратных сантиметров.

Теперь найдем объем призмы. Объем треугольной призмы можно найти, умножив площадь основания на высоту призмы. Для нашей призмы, площадь основания равна 13√3 квадратных сантиметров, а высота призмы равна 13√3 сантиметров. Подставим значения в формулу:

\[V = S_{\text{осн}} \cdot h\]

\[V = 13\sqrt{3} \cdot 13\sqrt{3}\]

Упростим выражение:

\[V = 13^2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}\]

\[V = 169 \cdot 3\]

\[V = 507\]

Таким образом, объем треугольной призмы равен 507 кубическим сантиметрам.

Мы также можем найти площадь поверхности призмы, сложив площади всех граней. У нашей призмы есть 5 граней: основание и 4 боковых грани. Площадь каждой боковой грани можно вычислить, используя формулу:

\[S_{\text{бок}} = \frac{{a \cdot l}}{2}\]

Где \(a\) - длина стороны треугольника, а \(l\) - длина ребра призмы (равна высоте призмы).

Для нашей призмы, длина стороны треугольника равна 2 см, а длина ребра призмы равна 13√3 см. Подставим значения в формулу:

\[S_{\text{бок}} = \frac{{2 \cdot 13\sqrt{3}}}{2}\]

Упростим выражение:

\[S_{\text{бок}} = 13\sqrt{3}\]

Таким образом, площадь каждой боковой грани равна 13√3 квадратных сантиметров.

Теперь найдем площадь основания. Мы уже вычислили ее ранее, и она равна 13√3 квадратных сантиметров.

Таким образом, площадь поверхности призмы состоит из площади основания и четырех равных площадей боковых граней:

\[S_{\text{пов}} = 2 \cdot S_{\text{бок}} + S_{\text{осн}}\]

\[S_{\text{пов}} = 2 \cdot 13\sqrt{3} + 13\sqrt{3}\]

\[S_{\text{пов}} = 26\sqrt{3} + 13\sqrt{3}\]

\[S_{\text{пов}} = 39\sqrt{3}\]

Таким образом, площадь поверхности призмы равна 39√3 квадратных сантиметров.

Надеюсь, эта подробная разборка помогла вам в понимании решения задачи. Если у вас остались какие-либо вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их. Я всегда готов помочь вам в учебе!