30. Какое отношение радиуса окружности, вписанной в квадрат, к радиусу окружности, описанной вокруг квадрата равно?

Шура

56

Давайте начнем с первой задачи. Мы должны определить отношение радиуса окружности, вписанной в квадрат, к радиусу окружности, описанной вокруг квадрата. Предоставлю вам полное пошаговое решение.

Рассмотрим квадрат со стороной \(a\). Чтобы найти радиус окружности, вписанной в квадрат, нужно разделить сторону квадрата на 2. Таким образом, радиус вписанной окружности будет равен \(r = \frac{a}{2}\).

Теперь посмотрим на окружность, описанную вокруг квадрата. В этом случае, радиус окружности будет равен половине диагонали квадрата. Диагональ квадрата можно найти с помощью теоремы Пифагора. Мы знаем, что длина стороны квадрата равна \(a\), поэтому длина диагонали будет \(d = a\sqrt{2}\). Радиус окружности, описанной вокруг квадрата, будет равен половине диагонали, то есть \(R = \frac{a\sqrt{2}}{2}\).

Теперь, чтобы найти отношение радиуса окружности, вписанной в квадрат, к радиусу окружности, описанной вокруг квадрата, мы разделим \(r\) на \(R\):

\[
\frac{r}{R} = \frac{\frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt{2}}{2}} = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]

Итак, ответ на первую задачу - отношение радиуса окружности, вписанной в квадрат, к радиусу окружности, описанной вокруг квадрата, равно \(\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Теперь перейдем ко второй задаче, где мы должны найти отношение радиуса окружности, описанной вокруг правильного шестиугольника, к радиусу окружности, вписанной в него.

Для начала, нам понадобится длина стороны шестиугольника. Мы предполагаем, что сторона шестиугольника равна \(a\). Затем, используя геометрические свойства шестиугольника, мы можем найти его радиусы.

Радиус окружности, описанной вокруг правильного шестиугольника, будет равен длине стороны шестиугольника. То есть, \(R = a\).

Теперь обратимся к окружности, вписанной в этот правильный шестиугольник. Мы можем использовать формулу для радиуса вписанной окружности: \(r = \frac{a}{2\sqrt{3}}\).

Итак, чтобы найти отношение радиуса окружности, описанной вокруг правильного шестиугольника, к радиусу окружности, вписанной в него, мы разделим \(R\) на \(r\):

\[
\frac{R}{r} = \frac{a}{\frac{a}{2\sqrt{3}}} = \frac{a \cdot 2\sqrt{3}}{a} = 2\sqrt{3}
\]

Итак, ответ на вторую задачу - отношение радиуса окружности, описанной вокруг правильного шестиугольника, к радиусу окружности, вписанной в него, равно \(2\sqrt{3}\).

Надеюсь, это решение будет полезно для вас.