4. (16) Яка площа діагонального перетину правильної чотирикутної піраміди, якщо довжина діагоналі основи становить

Муха

56

Сначала давайте разберемся с основой правильной четырехугольной пирамиды. У нас есть диагональ основания, которая равна 24 см.

Для начала, давайте найдем длину стороны основания четырехугольной пирамиды. Обратимся к понятию правильной четырехугольной пирамиды. В такой пирамиде все грани равны, а углы между ними – прямые (90 градусов).

Так как у нас диагональ основания, то нам понадобится знание свойств прямоугольного треугольника. Давайте вспомним основную формулу Пифагора для прямоугольного треугольника: \(c^2 = a^2 + b^2\), где \(c\) – гипотенуза, \(a\) и \(b\) – катеты.

В нашем случае, диагональ основания является гипотенузой прямоугольного треугольника, а стороны основания – катетами. Пусть длина стороны основания будет \(a\), тогда \(c = 24\) см и \(a = b\).

Применим формулу Пифагора для нахождения длины стороны основания:
\[24^2 = a^2 + a^2\]
\[576 = 2a^2\]
\[a^2 = \frac{576}{2}\]
\[a^2 = 288\]
\[a = \sqrt{288}\]

Теперь, когда у нас есть длина стороны основания, давайте рассмотрим диагональный перетин пирамиды.

Для нахождения площади диагонального перетина мы можем воспользоваться формулой: \(S = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2\), где \(d_1\) и \(d_2\) – диагонали перетина.

В нашем случае, у нас есть только одна диагональ – диагональ основания. Мы можем представить диагональный перетин как равнобедренный треугольник, в котором длина основания равна длине стороны основания пирамиды (\(a\)).

Таким образом, у нас будет два равных катета в равнобедренном треугольнике. Мы можем найти длину одного из этих катетов, используя те же свойства прямоугольного треугольника. Пусть \(b\) – длина одного из катетов, тогда \(c = a\) и \(b = b\).

Применим формулу Пифагора для нахождения длины катета:
\[a^2 = b^2 + b^2\]
\[a^2 = 2b^2\]
\[b^2 = \frac{a^2}{2}\]
\[b = \sqrt{\frac{a^2}{2}}\]

Теперь у нас есть длина катета, и мы можем найти площадь диагонального перетина:
\[S = \frac{1}{2} \times a \times b\]
\[S = \frac{1}{2} \times a \times \sqrt{\frac{a^2}{2}}\]
\[S = \frac{1}{2} \times \sqrt{a^2 \cdot \frac{a^2}{2}}\]
\[S = \frac{1}{2} \times \sqrt{\frac{a^4}{2}}\]
\[S = \frac{a^2}{2}\]

Теперь мы можем подставить значение \(a\) в данное выражение и вычислить площадь диагонального перетина:
\[S = \frac{(\sqrt{288})^2}{2}\]
\[S = \frac{288}{2}\]
\[S = 144\]

Итак, площадь диагонального перетина правильной четырехугольной пирамиды составляет 144 квадратных сантиметра.