4) Каков объем прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, если ∠BDA=60°, CC1=5см, и AD=6см? 5) Найдите объем

Tropik

62

4) Для решения этой задачи, нам понадобится знание формулы для вычисления объема прямоугольного параллелепипеда, которая выглядит следующим образом:

\[V = AB \cdot AD \cdot CC_1\]

где AB и AD - длины сторон основания, а CC1 - высота параллелепипеда.

Мы знаем, что CC1 = 5см и AD = 6см. Осталось найти длину стороны AB.

Чтобы найти длину стороны AB, мы можем использовать свойство треугольника, согласно которому сумма углов треугольника равна 180°. В данном случае, угол BDA равен 60°. Поскольку AC1 и B1D1 - параллельные стороны, угол, образованный AB и AD, равен 180° - 60° = 120°.

Теперь мы можем использовать закон синусов для нахождения длины AB:

\[\frac{AB}{\sin \angle BDA} = \frac{AD}{\sin \angle ADB}\]

Подставляя известные значения, получим:

\[\frac{AB}{\sin 60°} = \frac{6}{\sin 120°}\]

\[\frac{AB}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\]

\[AB = \frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}\]

Теперь мы можем вычислить объем параллелепипеда, подставив все известные значения в формулу:

\[V = AB \cdot AD \cdot CC_1 = 4\sqrt{3} \cdot 6 \cdot 5 = 120\sqrt{3} \, \text{см}^3\]

5) Для решения этой задачи также понадобится знание формулы для вычисления объема прямоугольного параллелепипеда.

Мы знаем, что DE = 9 см, DG = 12 см и угол между диагональю и основанием параллелепипеда равен 45°.

Для начала, найдем длину стороны EF основания прямоугольного параллелепипеда. По теореме Пифагора:

\[EF^2 = DE^2 + DG^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225\]
\[EF = \sqrt{225} = 15 \, \text{см}\]

Теперь можем найти площадь основания:

\[S_{\text{осн.}} = EF \cdot DG \cdot \sin 45° = 15 \cdot 12 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 180 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 90 \sqrt{2} \, \text{см}^2\]

Следующим шагом мы вычислим высоту параллелепипеда. Для этого используем формулу объема:

\[V = AB \cdot AD \cdot CC_1\]

Разделив обе части уравнения на площадь основания, получим:

\[\frac{V}{S_{\text{осн.}}} = CC_1\]

\[CC_1 = \frac{V}{S_{\text{осн.}}} = \frac{V}{90 \sqrt{2}}\]

Теперь можем записать формулу объема параллелепипеда в следующем виде:

\[V = AB \cdot AD \cdot CC_1\]

\[V = 15 \cdot 9 \cdot \frac{V}{90 \sqrt{2}}\]

\[V = 135 \cdot \frac{V}{90 \sqrt{2}}\]

\[1 = \frac{V}{90 \sqrt{2}}\]

\[V = 90 \sqrt{2} \, \text{см}^3\]

Ответ: объем прямоугольного параллелепипеда DEFGD1E1F1G1 равен 90 \sqrt{2} см3.

7) Чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда, когда площади трех его граней равны 1, 2 и 4, мы можем воспользоваться уравнением площади грани прямоугольного параллелепипеда:

\[2(AB \cdot AD + AB \cdot CC_1 + AD \cdot CC_1) = 1\]
\[2AB(AD + CC_1) + 2AD\cdot CC_1 = 1\]
\[AB(AD + CC_1) + AD \cdot CC_1 = \frac{1}{2}\]

Мы также знаем, что объем параллелепипеда равен произведению длин трех его сторон:

\[V = AB \cdot AD \cdot CC_1\]

Мы можем решить эту систему уравнений, решая ее относительно объема V.

Подставляя известные значения и продолжая решение, получаем:

\[AB(AD + CC_1) + AD \cdot CC_1 = \frac{1}{2}\]
\[AB = \frac{1}{\frac{AD + CC_1}{2} + \frac{AD \cdot CC_1}{CC_1}} = \frac{1}{\frac{AD + CC_1}{2} + AD}\]
\[AB = \frac{1}{\frac{AD + 1}{2} + AD}\]

Теперь можем записать формулу объема параллелепипеда:

\[V = AB \cdot AD \cdot CC_1\]
\[V = \frac{1}{\frac{AD + 1}{2} + AD} \cdot AD \cdot CC_1\]

Подставляя известные значения, получаем:

\[V = \frac{1}{\frac{AD + 1}{2} + AD} \cdot AD \cdot CC_1 = \frac{1}{\frac{6 + 1}{2} + 6} \cdot 6 \cdot \sqrt{2} = \frac{1}{\frac{13}{2}} \cdot 6 \cdot \sqrt{2} = \frac{2}{13} \cdot 6 \cdot \sqrt{2} = \frac{12\sqrt{2}}{13}\]

Ответ: объем прямоугольного параллелепипеда, когда площади трех его граней равны 1, 2 и 4, равен \(\frac{12\sqrt{2}}{13}\) кубических единиц.