4. Какова длина перпендикуляра, опущенного из точки а на плоскость α, если наклонная ав составляет угол

Kote

58

4. Чтобы найти длину перпендикуляра, опущенного из точки а на плоскость α, мы можем воспользоваться свойствами перпендикуляра. Когда прямая перпендикулярна к плоскости, она будет перпендикулярна ко всем прямым, лежащим в плоскости. Когда прямая перпендикулярна к плоскости, она будет перпендикулярна к векторам, лежащим в плоскости.

Из условия известно, что наклонная ав составляет угол 30º с плоскостью α и длина ав равна 4 см. Это означает, что вектор ав лежит в плоскости α и составляет угол 30º с нормалью плоскости α. Поскольку вектор ав лежит в плоскости, мы можем его разложить на два вектора: один параллельный нормали плоскости α, а другой перпендикулярный.

Найдем вектор, параллельный нормали плоскости α. Для этого нам понадобится нормальная проекция вектора ав на нормаль плоскости α. Пусть \(n\) - единичный вектор нормали плоскости α, а \(a\) - вектор ав. Тогда проекция вектора \(a\) на нормаль плоскости α будет равна \(\text{proj}_n(a) = (a \cdot n) \cdot n\). С учетом угла между вектором ав и нормалью плоскости α, мы можем записать \(\text{proj}_n(a) = |a| \cdot \cos(30º) \cdot n\).

Теперь мы можем найти перпендикулярный вектор. Для этого нам нужно вычесть проекцию вектора ав на нормаль плоскости α из самого вектора ав: \(b = a - \text{proj}_n(a)\).

Длина перпендикуляра будет равна длине вектора \(b\). Подставляя данные в формулы, получаем:

\(\text{proj}_n(a) = (4 \cdot \cos(30º)) \cdot (n_1, n_2, n_3)\)

\(b = (4, 0, 0) - (4 \cdot \cos(30º)) \cdot (n_1, n_2, n_3) = (4 - 4 \cdot \cos(30º), -4 \cdot \cos(30º), -4 \cdot \cos(30º))\)

Длина вектора \(b\) равна \(\sqrt{(4 - 4 \cdot \cos(30º))^2 + (-4 \cdot \cos(30º))^2 + (-4 \cdot \cos(30º))^2}\). Вычисляя значение, получаем окончательный ответ.

5. Чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через заданные точки и начало координат, мы можем использовать уравнение плоскости в общем виде. Общее уравнение плоскости имеет вид \(Ax + By + Cz + D = 0\), где \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) - коэффициенты, которые мы должны найти.

Подставим в уравнение координаты заданных точек. Мы получим систему из трех уравнений:

При подстановке точки A получим уравнение \(A \cdot x_a + B \cdot y_a + C \cdot z_a + D = 0\).

При подстановке точки B получим уравнение \(A \cdot x_b + B \cdot y_b + C \cdot z_b + D = 0\).

При подстановке точки C получим уравнение \(A \cdot x_c + B \cdot y_c + C \cdot z_c + D = 0\).

Теперь мы имеем систему трех уравнений с четырьмя неизвестными \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\). Чтобы решить эту систему, нужно добавить еще одно уравнение. Мы можем использовать уравнение, проходящее через начало координат, \(A \cdot 0 + B \cdot 0 + C \cdot 0 + D = 0\).

Теперь у нас есть система из четырех уравнений с четырьмя неизвестными. Решая эту систему, мы найдем значения \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\), которые являются коэффициентами искомой плоскости.

6. Чтобы найти угол между прямыми \(ad\) и \(be\) в правильной трехгранной призме \(abca1b1c1\), мы можем воспользоваться свойствами трехгранной призмы.

Из условия известно, что все ребра призмы равны 1, а точки \(d\) и \(e\) - середины ребер \(a1b1\) и \(b1c1\) соответственно.

Вектор \(ad\) можно получить, вычислив разность координат двух точек \(a\) и \(d\):

\(ad = (x_d - x_a, y_d - y_a, z_d - z_a)\).

Аналогично, вектор \(be\) можно получить, вычислив разность координат двух точек \(b\) и \(e\):

\(be = (x_e - x_b, y_e - y_b, z_e - z_b)\).

Чтобы найти угол между этими векторами, мы можем использовать свойство скалярного произведения, согласно которому \(a \cdot b = |a| \cdot |b| \cdot \cos(\theta)\), где \(a \cdot b\) - скалярное произведение векторов \(a\) и \(b\), \(|a|\) и \(|b|\) - длины векторов \(a\) и \(b\), а \(\theta\) - искомый угол.

Применяя это свойство векторов \(ad\) и \(be\), получим уравнение \(ad \cdot be = |ad| \cdot |be| \cdot \cos(\theta)\).

Теперь мы решаем это уравнение относительно угла \(\theta\):

\(\theta = \arccos\left(\frac{ad \cdot be}{|ad| \cdot |be|}\right)\).

Подставляем значения и вычисляем угол \(\theta\), используя полученные ранее вектора и их длины.

7. Чтобы найти площадь треугольника с вершинами \(a=(-4; 4; 4)\), \(b=(3; 1; 0)\) и \(c=(-1; 2; -3)\), мы можем использовать формулу площади треугольника в трехмерном пространстве. Формула площади треугольника в трехмерном пространстве имеет вид:

\[S = \frac{1}{2} \sqrt{(x_b - x_a)(y_c - y_a)(z_c - z_a)-(z_b - z_a)(y_c - y_a)(x_c - x_a)}\]

Подставляем значения координат вершин треугольника и вычисляем площадь.