4. Какова длина средней линии и площадь прямоугольной трапеции с вершинами А (-6;3), В(2;3), С(4;3) и Д(-6;-3)?

Lazernyy_Reyndzher

41

Для начала, давайте вспомним основные формулы для нахождения длины средней линии и площади прямоугольной трапеции.

Длина средней линии прямоугольной трапеции можно найти по формуле:
\[L = \frac{{a + b}}{2},\]
где \(a\) и \(b\) - длины параллельных сторон трапеции.

Площадь прямоугольной трапеции можно найти по формуле:
\[S = \frac{{a + b}}{2} \cdot h,\]
где \(a\) и \(b\) - длины параллельных сторон трапеции, а \(h\) - расстояние между ними, называемое высотой трапеции.

Теперь приступим к решению задачи:

1. Найдем длину средней линии трапеции. Для этого нужно найти длины сторон \(a\) и \(b\).
Длина стороны \(a\) может быть найдена как расстояние между точками А(-6;3) и В(2;3):
\[a = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}},\]
где \(x_1, y_1\) - координаты точки А, \(x_2, y_2\) - координаты точки В.

В нашем случае:
\[a = \sqrt{{(2 - (-6))^2 + (3 - 3)^2}} = \sqrt{{8^2 + 0^2}} = \sqrt{{64 + 0}} = \sqrt{{64}} = 8.\]

Аналогично, найдем длину стороны \(b\) как расстояние между точками С(4;3) и Д(-6;-3):
\[b = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}.\]

В нашем случае:
\[b = \sqrt{{(-6 - 4)^2 + (-3 - 3)^2}} = \sqrt{{(-10)^2 + (-6)^2}} = \sqrt{{100 + 36}} = \sqrt{{136}}.\]

Теперь, найдем длину средней линии, используя формулу:
\[L = \frac{{a + b}}{2} = \frac{{8 + \sqrt{{136}}}}{2}.\]

2. Теперь, найдем площадь прямоугольной трапеции. Для этого нужно найти длины сторон \(a\) и \(b\) (уже найдено) и высоту \(h\).
Высоту трапеции можно найти как расстояние между точками А(-6;3) и Д(-6;-3):
\[h = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}.\]

В нашем случае:
\[h = \sqrt{{(-6 - (-6))^2 + (-3 - 3)^2}} = \sqrt{{0^2 + (-6)^2}} = \sqrt{{0 + 36}} = \sqrt{{36}} = 6.\]

Теперь, найдем площадь трапеции, используя формулу:
\[S = \frac{{a + b}}{2} \cdot h = \frac{{8 + \sqrt{{136}}}}{2} \cdot 6.\]

Таким образом, длина средней линии трапеции равна \(\frac{{8 + \sqrt{{136}}}}{2}\), а площадь трапеции равна \(\frac{{8 + \sqrt{{136}}}}{2} \cdot 6\).

Нужно отметить, что значения длины и площади могут быть округлены до нужного количества знаков после запятой в зависимости от требований задачи.