4. Переформулируйте вопрос: Каковы координаты векторов AB, CB и CA, если известно, что AB = 2I + 3j, CB = -5i и CA

Belenkaya

15

4. Для определения координат векторов AB, CB и CA, мы должны вычислить разность координат между соответствующими конечными и начальными точками.

Для вектора AB:
AB = B - A

Зная, что AB = 2i + 3j, мы можем назначить B как (x, y), где x и y - неизвестные координаты.

Тогда, для вектора AB, получим:
2i + 3j = (x - (-4)i + (y - 6)j

Таким образом, координаты вектора AB: (x - (-4), y - 6)

Аналогично, для вектора CB и CA, мы имеем:
CB = B - C
CB = (x, y) - (-5i) = x + 5i + yj

CA = A - C
CA = (-4i + 6j) - (-5i) + (-4j) = -4i + 5i + 6j + 4j = i + 10j

Итак, координаты векторов равны:
AB = (x - (-4), y - 6)
CB = x + 5i + yj
CA = i + 10j

5. Для переформулирования вопроса о точках A и B, расстоянии между ними, координатах точки P и произведении CB * AD, используем следующие обозначения:

A = (-4, 6, -3)
B = (7, -3, 5)
C = (-5, -4, 0)
D = (3, 0, -5)
P = (x, y, z)

1) Координаты точек B и A:
Точка B: (7, -3, 5)
Точка A: (-4, 6, -3)

2) Расстояние между точками B и A:
Чтобы найти расстояние между точками B и A, мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

\[d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}}\]

Подставляя значения координат точек B и A в формулу, мы получим:
\[d = \sqrt{{(7 - (-4))^2 + (-3 - 6)^2 + (5 - (-3))^2}}\]

Расчеты:
\[d = \sqrt{{11^2 + (-9)^2 + 8^2}}\]
\[d = \sqrt{{121 + 81 + 64}}\]
\[d = \sqrt{{266}}\]

Таким образом, расстояние между точками B и A равно \(\sqrt{{266}}\).

3) Координаты точки P:
Для определения координат точки P, которая является серединой отрезка СВ, мы можем использовать формулу середины отрезка:

\[P = \left(\frac{{x_1 + x_2}}{2},\frac{{y_1 + y_2}}{2},\frac{{z_1 + z_2}}{2}\right)\]

Подставляя значения координат точек C и B в формулу, получаем:
\[P = \left(\frac{{(-5 + 7)}}{2},\frac{{(-4 + (-3))}}{2},\frac{{0 + 5}}{2}\right)\]

Расчеты:
\[P = \left(\frac{{2}}{2},\frac{{-7}}{2},\frac{{5}}{2}\right)\]
\[P = (1, -3.5, 2.5)\]

Таким образом, координаты точки P равны (1, -3.5, 2.5).

4) Произведение CB * AD:
Чтобы найти произведение CB * AD, мы должны умножить соответствующие компоненты векторов CB и AD.

CB = (x, y) - (-5, 0, 0) = x + 5i + yj + 0k
AD = (3, 0, -5) - (-4, 6, -3) = 7i - 6j - 2k

Умножение:
CB * AD = (x + 5i + yj + 0k) * (7i - 6j - 2k)

Для умножения векторов, мы используем правила умножения между базисными векторами:

i * i = 1, i * j = j * i = 0, j * j = 1, j * k = k * j = 0, i * k = k * i = 0, k * k = 1

Теперь мы можем раскрыть скобки и умножить соответствующие компоненты:
CB * AD = x * 7i + x * (-6j) + x * (-2k) + 5i * 7i + 5i * (-6j) + 5i * (-2k) + yj * 7i + yj * (-6j) + yj * (-2k) + 0 * 7i + 0 * (-6j) + 0 * (-2k)

Упрощая:
CB * AD = 7xi - 6xj - 2xk + 35i^2 - 30ij - 10ik + 7yij - 6yj^2 - 2yjk

Используя правило, что \(i^2 = -1\) и \(j^2 = k^2 = -1\), мы можем упростить выражение:
CB * AD = 7xi - 6xj - 2xk + 35i - 30ij - 10ik + 7yij + 6y - 2yjk

Таким образом, произведение CB * AD равно: 7xi - (6x + 30y)j - (2x + 2y)k.

5) Угол между векторами, образованными точками:
Чтобы найти угол между векторами, образованными точками, мы можем использовать формулу для косинуса угла между векторами:

\[\cos{\theta} = \frac{{\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}}}{{\|\mathbf{A}\| \|\mathbf{B}\|}}\]

где \(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}\) - скалярное произведение векторов A и B, а \(\|\mathbf{A}\|\) и \(\|\mathbf{B}\|\) - длины векторов A и B соответственно.

Для нахождения значения скалярного произведения и длин векторов, мы можем использовать следующие формулы:

\[\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = (x_1 \cdot x_2) + (y_1 \cdot y_2) + (z_1 \cdot z_2)\]
\[\|\mathbf{A}\| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2}\]
\[\|\mathbf{B}\| = \sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}\]

Подставляя значения координат точек C и B в формулы, получим:
\[\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = (-5 \cdot 7) + (-4 \cdot -3) + (0 \cdot 5)\]
\[\|\mathbf{A}\| = \sqrt{(-5)^2 + (-4)^2 + 0^2}\]
\[\|\mathbf{B}\| = \sqrt{7^2 + (-3)^2 + 5^2}\]

Расчеты:
\[\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = -35 + 12 + 0 = -23\]
\[\|\mathbf{A}\| = \sqrt{25 + 16 + 0} = \sqrt{41}\]
\[\|\mathbf{B}\| = \sqrt{49 + 9 + 25} = \sqrt{83}\]

Теперь мы можем найти значение \(\cos{\theta}\) и далее угол \(\theta\):

\[\cos{\theta} = \frac{{-23}}{{\sqrt{41} \cdot \sqrt{83}}}\]

Таким образом, угол \(\theta\) между векторами, образованными точками, равен:
\[\theta = \arccos{\left(\frac{{-23}}{{\sqrt{41} \cdot \sqrt{83}}}\right)}\]