5. Каковы координаты точки пересечения прямых у = х+4 и у= -2х+1? а) Найдите координаты точки пересечения. б) Напишите

Solnechnyy_Podryvnik

58

а) Для нахождения точки пересечения прямых у = х + 4 и у = -2х + 1, мы должны приравнять уравнения и решить полученное уравнение на x.

х + 4 = -2x + 1

Добавим 2x к обеим сторонам:

3x + 4 = 1

Вычтем 4 из обеих сторон:

3x = -3

Поделим обе стороны на 3:

x = -1

Теперь, чтобы найти значение у, мы можем подставить x = -1 в любое из уравнений, например у = -2х + 1:

у = -2(-1) + 1

у = 2 + 1

у = 3

Итак, координаты точки пересечения прямых у = х + 4 и у = -2х + 1 равны (-1, 3).

б) Теперь, когда у нас есть координаты точки О (-1, 3) и точка В (2, -1), мы можем написать уравнение окружности с центром в точке О, проходящей через точку В.

Уравнение окружности имеет вид:

\((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\),

где (h, k) - координаты центра окружности, а r- радиус окружности. Мы можем использовать координаты точки О (-1, 3) как (h, k), а затем найти радиус окружности, используя расстояние между точками О и В.

Расстояние между точками можно вычислить с помощью формулы:

\(d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\),

где \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) - координаты двух точек.

Применяя это к нашему случаю, получим:

\(d = \sqrt{{(2 - (-1))^2 + (-1 - 3)^2}}\),

\(d = \sqrt{{(3)^2 + (-4)^2}}\),

\(d = \sqrt{{9 + 16}}\),

\(d = \sqrt{{25}}\),

\(d = 5\).

Таким образом, радиус окружности r равен 5.

Подставим полученные значения в уравнение окружности:

\((x - (-1))^2 + (y - 3)^2 = 5^2\),

\((x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 25\).

Итак, уравнение окружности с центром в точке О (-1, 3), проходящей через точку В (2, -1), будет \((x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 25\).

в) Для нахождения уравнения прямой, проходящей через точку В (2, -1) и параллельной прямой у = -2х + 5, мы можем использовать формулу уравнения прямой y = mx + b, где m - коэффициент наклона прямой.

Уравнение прямой, параллельной у = -2х + 5, будет иметь такой же коэффициент наклона. Таким образом, коэффициент наклона m = -2.

Подставим координаты точки В (2, -1) и коэффициент наклона m = -2 в уравнение прямой:

у = -2х + b.

Используя точку В (2, -1):

-1 = -2(2) + b,

-1 = -4 + b,

b = -1 - (-4),

b = -1 + 4,

b = 3.

Итак, уравнение прямой, проходящей через точку В (2, -1) и параллельной прямой у = -2х + 5, будет y = -2x + 3.