5. Какую минимальную сумму CX+XD можно получить, где X - точка находится на прямой с, при условии, что точки C

Шура

57

Для решения этой задачи, нам необходимо использовать свойство прямой, а именно, что сумма длин любых двух ее отрезков всегда больше или равна длине всей прямой.

По условию задачи у нас есть прямая C, точки C и D находятся в одной полуплоскости относительно этой прямой, и на прямой опущены перпендикуляры CC₁ и DD₁.

Мы хотим найти минимальную сумму CX + XD, где X - точка находится на прямой C.

Обозначим отрезки \(CC_1 = 3 \, \text{см}\), \(DD_1 = 6 \, \text{см}\) и \(C_1D_1 = 2 \, \text{см}\).

Так как точки C и D находятся в одной полуплоскости относительно прямой C, мы можем опустить перпендикуляры от точек C и D на прямую C, обозначим их как CC₂ и DD₂ соответственно.

Чтобы найти значения CC₂ и DD₂, мы знаем, что эти отрезки образуют прямоугольные треугольники. Поэтому, используя теорему Пифагора, мы можем записать соотношения:

\[(CC₁)^2 + (CC₂)^2 = (C₁C)^2\]

и

\[(DD₁)^2 + (DD₂)^2 = (D₁D)^2\]

Раскроем эти соотношения и подставим известные значения:

\[3^2 + (CC₂)^2 = (C₁C)^2\]

\[6^2 + (DD₂)^2 = (D₁D)^2\]

\[9 + (CC₂)^2 = X^2\]

\[36 + (DD₂)^2 = X^2\]

Теперь, нам осталось найти такую точку X на прямой C, чтобы минимальная сумма CX + XD получилась.

Так как на прямой C, сумма длин любых двух отрезков всегда больше или равна длине всей прямой, то наименьшая сумма CX + XD будет достигнута в том случае, когда точка X будет находиться посередине между точками C и D.

Это означает, что отрезок XC будет равен отрезку XD.

Таким образом, мы можем записать:

\[CX = XD\]

\[X = \frac{CX + XD}{2}\]

\[X = \frac{2CX}{2}\]

\[X = CX\]

Теперь, подставим это значение в наши уравнения:

\[9 + (CC₂)^2 = (CX)^2\]

\[36 + (DD₂)^2 = (CX)^2\]

Так как \(CX = XD\) и \(CX = X\), то можно записать:

\[9 + (CC₂)^2 = X^2\]

\[36 + (DD₂)^2 = X^2\]

Теперь, осталось найти значения \(CC₂\) и \(DD₂\).

Используя два уравнения:

\[9 + (CC₂)^2 = X^2\]

\[36 + (DD₂)^2 = X^2\]

Мы можем выразить \(CC₂\) и \(DD₂\) в виде:

\[(CC₂)^2 = X^2 - 9\]

и

\[(DD₂)^2 = X^2 - 36\]

Теперь, подставляя эти значения в задачу, мы получаем:

\[CX + XD = CX + CX = 2CX\]

Таким образом, минимальная сумма \(CX + XD\) равна \(2CX\).

Осталось только найти значение \(CX\).

Заметим, что \(CX\) - это гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами \(CC₁\) и \(CC₂\).

Используя соотношение Пифагора, мы можем записать:

\[CC₁^2 + CC₂^2 = CX^2\]

Подставляем известные значения:

\[3^2 + (CC₂)^2 = CX^2\]

\[(CC₂)^2 = CX^2 - 9\]

Подставляем выражение для \((CC₂)^2\) в уравнение \(2CX\):

\[2CX = 2\sqrt{CX^2 - 9}\]

Таким образом, минимальная сумма \(CX + XD\) равна \(2\sqrt{CX^2 - 9}\).

Для нахождения минимальной суммы \(CX + XD\) нам необходимо найти значение \(CX\).

Я надеюсь, что этот подробный ответ поможет вам понять решение задачи. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.