9. Знайти координати нового положення точки О після повороту рівнобедреного прямокутного трикутника АВС навколо вершини

Letayuschaya_Zhirafa

4

Щоб знайти нове положення точки 𝑂 після повороту рівнобедреного прямокутного трикутника 𝐴𝐵𝐶 навколо вершини 𝐶 на кут 135 градусів за годинниковою стрілкою, нам знадобиться використати формули для обчислення координатів точок при повороті на певний кут.

1. Спочатку, ми повинні знайти координати точок 𝐴, 𝐵 і 𝐶. Припустимо, що координати точок 𝐴(𝑥_𝐴, 𝑦_𝐴), 𝐵(𝑥_𝐵, 𝑦_𝐵) і 𝐶(𝑥_𝐶, 𝑦_𝐶).

2. Згідно до умови задачі ми повертаємо тільки точку 𝐶 навколо себе на кут 135 градусів. Це означає, що координати точок 𝐴 і 𝐵 залишаються незмінними.

3. Для обчислення нової координати точки 𝑂 ми можемо використати формули повороту навколо початку координат.

Нові координати точки 𝑂, позначені як (𝑥_𝑂, 𝑦_𝑂), можна обчислити наступним чином:

\[𝑥_𝑂 = 𝑥_𝐶 \cdot 𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒(135)) - 𝑦_𝐶 \cdot 𝑠𝑖𝑛(𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒(135))\]

\[𝑦_𝑂 = 𝑥_𝐶 \cdot 𝑠𝑖𝑛(𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒(135)) + 𝑦_𝐶 \cdot 𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒(135))\]

Тут 𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒(135)) представляє косинус кута 135 градусів, а 𝑠𝑖𝑛(𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒(135)) представляє синус кута 135 градусів.

4. Підставляємо відповідні значення координат точок 𝐴, 𝐵 і 𝐶 в формули, виконуємо обчислення і отримуємо нові координати точки 𝑂.

Наприклад, якщо координати точок 𝐴, 𝐵 і 𝐶 дорівнюють:
𝐴(1, 1), 𝐵(3, 1) і 𝐶(2, 2), то ми маємо:

\[𝑥_𝑂 = 2 \cdot 𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒(135)) - 2 \cdot 𝑠𝑖𝑛(𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒(135))\]
\[𝑦_𝑂 = 2 \cdot 𝑠𝑖𝑛(𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒(135)) + 2 \cdot 𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒(135))\]

Після обчислень, отримуємо нові координати точки 𝑂.

Будь ласка, зауважте, що формули для обчислення нових координат точки 𝑂 виконуються, якщо вершина 𝐶 є початком координат (0, 0). Якщо вершина 𝐶 має інші координати, спочатку потрібно перенести координатну систему так, щоб вершина 𝐶 стала початком.