а) Если a ≠ b, то |a| ≠ |b|. б) Если аb ≤ 0, то либо а ≤ 0, либо b ≤ 0. в) Если число не делится на одну из цифр

Oksana

2

Конечно, я могу объяснить решение каждой из этих задач. Давайте начнем!

а) Если \(a \neq b\), то \(|a| \neq |b|\).
Объяснение:
В этом примере нам дано условие, что \(a\) не равно \(b\). Мы должны доказать, что модуль \(a\) не равен модулю \(b\).

Модуль числа - это его абсолютное значение, то есть его расстояние до нуля на числовой прямой. Из определения модуля, мы знаем, что модуль отрицательного числа равен его значение без знака, поэтому модуль \(a\) равен \(\left|a\right|\) и модуль \(b\) равен \(\left|b\right|\).

Предположим, что \(\left|a\right| = \left|b\right|\), то есть модуль \(a\) равен модулю \(b\). Обратите внимание, что модуль числа всегда неотрицателен.

Если \(\left|a\right| = \left|b\right|\), то две возможности возникают:
1. Если \(a = b\), то условие \(a \neq b\) нарушается, что противоречит условию задачи.
2. Если \(-a = b\), то мы можем заметить, что в этом случае \(\left|-a\right| = \left|b\right|\). Но так как \(\left|-a\right| = \left|a\right|\), это значит, что \(\left|a\right| = \left|a\right|\), что является верным для всех \(a\).

Таким образом, предположение \(\left|a\right| = \left|b\right|\) не может быть верным, и, следовательно, мы доказали, что если \(a \neq b\), то \(\left|a\right| \neq \left|b\right|\).

б) Если \(ab \leq 0\), то либо \(a \leq 0\), либо \(b \leq 0\).
Объяснение:
Здесь нам дано условие, что произведение \(ab\) меньше или равно нулю. Нам нужно доказать, что либо \(a \leq 0\), либо \(b \leq 0\).

Предположим, что оба \(a\) и \(b\) больше нуля (\(a > 0\) и \(b > 0\)). В этом случае произведение \(ab\) также будет больше нуля, так как умножение положительных чисел даёт положительный результат. Это противоречит условию задачи.

Теперь предположим, что \(a > 0\), но \(b \leq 0\). Здесь мы умножаем положительное число (\(a > 0\)) на неотрицательное или негативное число (\(b \leq 0\)), что дает отрицательный или неотрицательный результат, соответственно. Оба случая удовлетворяют условию задачи.

Аналогично, если \(b > 0\), но \(a \leq 0\), мы также получаем отрицательный или неотрицательный результат, и это также соответствует условию задачи.

Таким образом, мы можем заключить, что если \(ab \leq 0\), то либо \(a \leq 0\), либо \(b \leq 0\).

в) Если число не делится на одну из цифр 0, 2, 4, 6, 8, то оно оканчивается на одну из цифр 1, 3, 5.
Объяснение:
Дано, что число не делится на одну из цифр 0, 2, 4, 6, 8. Нам нужно доказать, что в таком случае оно должно оканчиваться на одну из цифр 1, 3, 5.

Для начала, давайте рассмотрим цифры, которые делятся на 2 и цифры, которые не делятся на 2:
- 0, 2, 4, 6 и 8 делятся на 2.
- 1, 3, 5, 7 и 9 не делятся на 2.

Если число оканчивается на 0, 2, 4, 6 или 8, то оно является четным числом и, следовательно, делится на 2. Но согласно условию задачи, данное число не делится на 2, значит оно не может оканчиваться на 0, 2, 4, 6 или 8.

Теперь давайте рассмотрим цифры, которые не делятся на 2 (1, 3, 5, 7 и 9). Из любого натурального числа, оканчивающегося на одну из этих цифр, мы можем выделить подходящее натуральное число, которое делится на это число. Например:
- Число, оканчивающееся на 1, делится на 1.
- Число, оканчивающееся на 3, делится на 3.
- Число, оканчивающееся на 5, делится на 5.
- И т.д.

Следовательно, если число не делится ни на одну из цифр 0, 2, 4, 6, 8, то оно не может оканчиваться на 0, 2, 4, 6 или 8, но может оканчиваться на одну из цифр 1, 3, 5, 7 или 9.

Таким образом, мы доказали, что если число не делится на одну из цифр 0, 2, 4, 6, 8, то оно оканчивается на одну из цифр 1, 3, 5, 7 или 9.