Каков радиус сферы, касающейся плоскости равностороннего треугольника с высотой 12 см в его центре, если расстояние

Schuka

59

Для решения этой задачи нам потребуется знание свойств равностороннего треугольника и его высоты.

Радиус сферы, касающейся плоскости равностороннего треугольника, будет равен расстоянию от центра сферы до стороны треугольника. Давайте разберемся в деталях.

Первым шагом определим, что радиус сферы будет образовывать перпендикуляр с плоскостью треугольника, проходящим через его центр, и будет пересекать сторону треугольника под прямым углом. Отметим эту точку касания на стороне треугольника и назовем ее точкой \(P\).

Следующим шагом используем свойство равностороннего треугольника. В равностороннем треугольнике все стороны равны между собой. Поэтому отрезок, соединяющий центр треугольника с любой вершиной, будет равен радиусу описанной окружности. Будем обозначать радиус сферы как \(r\).

Теперь мы можем использовать высоту треугольника, чтобы найти значение радиуса \(r\). По свойствам равностороннего треугольника, каждая высота делит его на два равнобедренных треугольника. В нашем случае, высота равна 12 см, поэтому от точки \(P\) до центра треугольника \(C\) равно половине высоты треугольника или 6 см.

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной радиусу \(r\) сферы, и катетом, равным 6 см.

Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти значение радиуса сферы \(r\):

\[\begin{align*}
r^2 &= 6^2 + x^2 \\
r^2 &= 36 + x^2
\end{align*}\]

Теперь нам нужно найти значение \(x\).

Мы можем использовать определение радиуса сферы как расстояния от центра сферы до стороны треугольника. Мы знаем, что треугольник равносторонний, поэтому стороны равны между собой. Расстояние от центра до стороны треугольника равно расстоянию от точки \(P\) до одной из вершин треугольника.

Высота равностороннего треугольника разделяет его на два равнобедренных треугольника. Мы знаем, что в каждом из этих треугольников высота делит основание на две равные части. Таким образом, \(x\) также будет равно половине длины стороны треугольника, которая равна половине основания треугольника, и мы можем обозначить его как \(s\).

Теперь у нас есть уравнение:

\[\begin{align*}
r^2 &= 36 + s^2 \\
r^2 &= 36 + \left(\frac{s}{2}\right)^2 \\
r^2 &= 36 + \frac{s^2}{4} \\
r^2 &= \frac{4s^2 + s^2}{4} \\
r^2 &= \frac{5s^2}{4}
\end{align*}\]

Теперь, поскольку сторона треугольника равна \(s\), а известен размер высоты, мы можем использовать формулу для вычисления стороны равностороннего треугольника через его высоту:

\[s = \frac{2 \cdot h}{\sqrt{3}}\]

Подставим это значение в уравнение:

\[\begin{align*}
r^2 &= \frac{5\left(\frac{2 \cdot h}{\sqrt{3}}\right)^2}{4} \\
r^2 &= \frac{20h^2}{3}
\end{align*}\]

Теперь нам осталось только найти значение высоты \(h\). Мы знаем, что высота треугольника равна 12 см, поэтому подставим это значение в уравнение:

\[\begin{align*}
r^2 &= \frac{20(12^2)}{3} \\
r^2 &= \frac{20 \cdot 144}{3} \\
r^2 &= \frac{20 \cdot 16 \cdot 9}{3} \\
r^2 &= 320
\end{align*}\]

Наконец, найдем значение радиуса \(r\):

\[\begin{align*}
r &= \sqrt{320} \\
r &\approx 17.89 \text{ см}
\end{align*}\]

Итак, радиус сферы, касающейся плоскости равностороннего треугольника с высотой 12 см в его центре, составляет около 17.89 см.