Сколько времени потребуется для полного сгорания данной конструкции, состоящей из 38 деревянных зубочисток, если каждая

Кроша

57

Чтобы решить эту задачу, нам нужно выяснить, сколько зубочисток будет сгорать на каждом этапе распространения огня, а затем определить общее время, необходимое для полного сгорания всех зубочисток.

На первом этапе огонь распространяется от двух угловых зубочисток, согласно условию задачи. После этого будут сгорать две зубочистки, и останется \(38 - 2 = 36\) зубочисток.

Далее огонь будет распространяться от четырех сгоревших зубочисток на оставшиеся. Каждая пара сгоревших зубочисток приведет к тому, что две новых сгорят. Таким образом, на каждом этапе останется в два раза меньше зубочисток, чем на предыдущем. Распространение огня будет продолжаться до тех пор, пока не сгорят все зубочистки.

Теперь рассчитаем время, необходимое для сгорания всех зубочисток. Пусть \(t\) - это время, в которое сгорит каждая зубочистка. Тогда на первом этапе сгорит \(2t\) (2 зубочистки), на втором - \(4t\) (4 зубочистки), на третьем - \(8t\) (8 зубочисток) и т.д. Увеличение в два раза числа сгоревших зубочисток на каждом шаге позволяет нам добиться того, чтобы каждая остающаяся зубочистка имела возможность сгореть.

Общее количество времени (T), необходимое для сгорания всех зубочисток, может быть найдено суммированием времени на каждом шаге:

\[T = 2t + 4t + 8t + 16t + \ldots\]

Мы видим, что это бесконечно геометрическая прогрессия с первым членом \(2t\) и знаменателем 2. Радиус сходимости этой геометрической прогрессии меньше 1, так как зубочисток конечное количество. Поэтому мы можем воспользоваться формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

\[T = \frac{2t}{1 - \frac{1}{2}}\]
\[T = 2t \cdot 2\]
\[T = 4t\]

Мы знаем, что каждая зубочистка сгорает за 10 секунд, поэтому \(t = 10\) секунд. Подставляя это значение, получаем:

\[T = 4 \cdot 10 = 40\) секунд\]

Таким образом, полное сгорание данной конструкции из 38 деревянных зубочисток займет 40 секунд.