А) Если радиус основания конуса равен 6 и его объем составляет 72 π, то какой угол получится при вершине осевого

Картофельный_Волк

31

а) Для решения данной задачи нам нужно использовать формулу для объема конуса \[V=\frac{1}{3}\pi r^2 h\] где V - объем конуса, \(\pi\) - число пи, r - радиус основания конуса, и h - высота конуса.

Из условия задачи мы знаем, что радиус основания конуса равен 6 и объем составляет 72 \(\pi\). Подставим эти значения в формулу и найдем высоту конуса:

\[72\pi=\frac{1}{3}\pi (6^2)h\]
\[72=\frac{1}{3}(6^2)h\]
\[72=12h\]
\[h=6\]

Теперь, чтобы найти угол получившегося вертикального сечения конуса, мы можем использовать теорему Пифагора, так как сечение будет прямоугольным треугольником. По теореме Пифагора верхняя сторона треугольника (основание конуса) будет гипотенузой, а радиус основания и высота конуса будут катетами. Поэтому мы можем применить соотношение \(\sin \theta = \frac{h}{r}\), где \(\theta\) - угол между основанием и сечением.

Подставим значения r=6 и h=6 в формулу:
\(\sin \theta = \frac{6}{6}\)
\(\sin \theta = 1\)

Так как \(\sin 90^\circ = 1\), мы можем заключить, что угол получившегося вертикального сечения конуса составляет 90 градусов.

б) Чтобы найти объем конуса, нам нужно использовать формулу \[V=\frac{1}{3}\pi r^2 h\], где V - объем конуса, \(\pi\) - число пи, r - радиус основания конуса и h - высота конуса.

Из условия задачи мы знаем, что образующая конуса равна 6 и угол наклона к основанию составляет 60 градусов. Образующая конуса является гипотенузой прямоугольного треугольника, а радиус основания и высота конуса являются катетами этого треугольника. Поэтому мы можем использовать соотношение \(\cos \theta = \frac{r}{l}\), где \(\theta\) - угол наклона к основанию, r - радиус основания и l - образующая конуса.

Подставим значения r и l в формулу:
\(\cos 60^\circ = \frac{r}{6}\)
\(\frac{1}{2} = \frac{r}{6}\)
\(r = 3\)

Теперь, чтобы найти высоту конуса, мы можем использовать теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, состоящего из образующей, радиуса основания и высоты конуса:
\(l^2 = r^2 + h^2\)
\(6^2 = 3^2 + h^2\)
\(36 = 9 + h^2\)
\(h^2 = 27\)
\(h = \sqrt{27}\)
\(h = 3\sqrt{3}\)

Теперь, подставим значения r=3 и h=3\(\sqrt{3}\) в формулу для объема конуса:
\(V=\frac{1}{3}\pi(3^2)(3\sqrt{3})\)
\(V=\frac{1}{3}\pi(9)(3\sqrt{3})\)
\(V=3\pi\sqrt{3}\)

б) Чтобы найти объем полученного тела вращения, мы можем использовать формулу \[V=\pi \int_a^b f^2(x)dx\], где V - объем, f(x) - функция, которая задает площадь поперечного сечения, a и b - пределы интегрирования по оси x.

В данной задаче прямоугольный треугольник с высотой 3 и острым углом в 30 градусов вращается вокруг большего катета. Если мы представим треугольник на графике, то верхний катет будет графиком функции f(x), которая будет зависеть от координаты x.

Для начала найдем уравнение графика f(x). Поскольку прямоугольный треугольник имеет острый угол в 30 градусов, это означает, что отношение сторон прямоугольного треугольника будет \(\tan 30^\circ = \frac{3}{x}\). Решим это уравнение и найдем значение x:
\(\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3}{x}\)
\(x = 3\sqrt{3}\)

Теперь, чтобы найти функцию f(x), нам нужно создать уравнение линии, проходящей через точку (0,0) и (3\(\sqrt{3}\),3). Из этого уравнения мы можем найти f(x).

Уравнение линии будет иметь вид y = mx + b, где m - коэффициент наклона, b - свободный член (значение y, когда x=0).

Коэффициент наклона m будет равен \(\frac{3}{3\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}\). Подставим это значение в уравнение и найдем b:
0 = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) * 0 + b
b = 0

Таким образом, уравнение графика f(x) будет выглядеть как:
f(x) = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) * x + 0
f(x) = \(\frac{x}{\sqrt{3}}\)

Мы можем найти объем тела вращения, подставив f(x) и пределы интегрирования в формулу:
\(V=\pi \int_0^{3\sqrt{3}} (\frac{x}{\sqrt{3}})^2 dx\)
\(V=\pi \int_0^{3\sqrt{3}} \frac{x^2}{3} dx\)
\(V=\pi \frac{1}{3} [\frac{x^3}{3}]_0^{3\sqrt{3}}\)
\(V=\pi \frac{1}{3} (\frac{(3\sqrt{3})^3}{3} - \frac{0^3}{3})\)
\(V=\pi \frac{1}{3} (\frac{27\sqrt{3}}{3})\)
\(V=\pi \frac{\sqrt{3}}{3} (9)\)
\(V=3\pi \sqrt{3}\)

Таким образом, объем полученного тела вращения составляет \(3\pi \sqrt{3}\) в терминах х и \(\pi\).

Если у вас остались вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать. Я готов помочь вам!