а) Как решить уравнение: х^3 + 4х^2 - 32х = 0? б) Как найти корни уравнения: х^3 - 10х^2 + 4х - 40

Vulkan

21

Конечно! Предоставлю вам полное пошаговое решение для обоих уравнений.

а) Решим уравнение \(x^3 + 4x^2 - 32x = 0\):

Шаг 1: Факторизация
Сначала проанализируем общий множитель. Видим, что каждый член содержит \(x\), поэтому можно вынести общий множитель:
\[x(x^2 + 4x - 32) = 0\]

Шаг 2: Получение корней
Теперь решим уравнение \(x^2 + 4x - 32 = 0\). Для этого воспользуемся квадратным трехчленом.

Шаг 3: Использование квадратного трехчлена
Мы должны найти два числа, сумма и произведение которых равны соответственно \(4\) и \(-32\). Так как произведение отрицательное, одно число должно быть положительным, а другое отрицательным. Рассмотрим различные комбинации чисел и найдём верную:
\[16 \cdot (-2) = -32\]
\[16 + (-2) = 14\]

Шаг 4: Формулировка двух квадратных уравнений
Теперь мы можем сформировать два квадратных уравнения:
\[x^2 + 16x - 2x - 32 = 0\]

Шаг 5: Факторизация и получение корней
Разложим каждую часть и решим получающиеся уравнения:
\[x(x + 16) - 2(x + 16) = 0\]
\[(x - 2)(x + 16) = 0\]

Таким образом, уравнение имеет два корня: \(x = 2\) и \(x = -16\).

б) Решим уравнение \(x^3 - 10x^2 + 4x - 40 = 0\):

Шаг 1: Факторизация
Также можно начать с выделения общего множителя:
\[x(x^2 - 10x + 4) - 40 = 0\]

Шаг 2: Получение корней
Теперь решим уравнение \(x^2 - 10x + 4 = 0\). Используем квадратный трехчлен.

Шаг 3: Использование квадратного трехчлена
Нам нужно найти два числа, сумма и произведение которых равны соответственно \(-10\) и \(4\). Попробуем разные комбинации:
\[(-2) \cdot (-2) = 4\]
\[(-2) + (-2) = -4\]

Шаг 4: Формулировка двух квадратных уравнений
Мы можем создать два квадратных уравнения:
\[x^2 - 2x - 8x + 4 = 0\]

Шаг 5: Факторизация и получение корней
Разложим каждую часть и решим получающиеся уравнения:
\[x(x - 2) - 4(x - 2) = 0\]
\[(x - 4)(x - 2) = 0\]

Таким образом, уравнение имеет два корня: \(x = 4\) и \(x = 2\).

Надеюсь, эти пошаговые решения помогут вам полностью разобраться с предоставленными уравнениями. Если у вас возникнут ещё вопросы, не стесняйтесь задавать их!