а) Какое уравнение в комплексных числах имеет вид x^2 - 4x + 8 = 0? б) Предоставьте уравнение в комплексных числах

Александра

65

Конечно! Давайте решим эти уравнения пошагово.

а) Дано уравнение в комплексных числах: \(x^2 - 4x + 8 = 0\).

1. Давайте приведем это уравнение к общему виду для решения квадратного уравнения: \(ax^2 + bx + c = 0\). В нашем случае \(a = 1\), \(b = -4\), и \(c = 8\).

2. Теперь мы можем воспользоваться формулой дискриминанта для решения уравнений вида \(ax^2 + bx + c = 0\). Формула дискриминанта выглядит следующим образом: \(\Delta = b^2 - 4ac\).

3. Подставим значения из нашего уравнения и вычислим дискриминант: \(\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 16 - 32 = -16\).

4. Заметим, что дискриминант отрицательный (\(\Delta < 0\)). Это означает, что уравнение не имеет действительных корней.

5. Рассмотрим комплексные числа. Пусть \(x = p + iq\), где \(p\) и \(q\) - действительные числа, а \(i\) - мнимая единица (\(i^2 = -1\)).

6. Подставим \(x\) в уравнение: \((p + iq)^2 - 4(p + iq) + 8 = 0\).

7. Раскроем скобки и соберем действительные и мнимые части вместе:
\((p^2 - q^2 - 4p + 8) + i(2pq - 4q) = 0\).

8. Разделим это уравнение на \(i\), чтобы выделить действительную и мнимую части:
\((p^2 - q^2 - 4p + 8)/i + 2pq - 4q = 0\).

9. Так как действительная и мнимая части должны быть равными нулю, получаем систему уравнений:
\(\begin{cases}
(p^2 - q^2 - 4p + 8)/i = 0 \\
2pq - 4q = 0
\end{cases}\).

10. Решим первое уравнение: \(p^2 - q^2 - 4p + 8 = 0\). Мы можем представить это как уравнение квадрата бинома:
\((p-2)^2 - q^2 + 4 = 0\).

11. Продолжим упрощать:
\((p-2)^2 - q^2 = -4\).

12. Заметим, что левая часть выражения является разностью двух квадратов. Применим формулу разности квадратов:
\((p-2+q)(p-2-q) = -4\).

13. Введем дополнительную переменную \(d = p-2+q\). Теперь у нас есть система уравнений:
\(\begin{cases}
d(d-2q) = -4 \\
2pq - 4q = 0
\end{cases}\).

14. Решим второе уравнение:
\(q(2p-4) = 0\).

15. У нас есть два возможных случая:

1. \(q = 0\): Подставим значение \(q = 0\) в первое уравнение:
\(d(d-2 \cdot 0) = -4\).
Теперь мы имеем уравнение \(d^2 = -4\), которое не имеет решений в действительных числах. Однако, поскольку мы ищем комплексные корни, мы можем найти такие значения переменной \(d\), что \(d^2 = -4\) (например, \(d = 2i\) или \(d = -2i\)).

2. \(2p-4 = 0\): Из этого уравнения получаем \(p = 2\). Подставим это значение в первое уравнение:
\(d(d-2q) = -4\).
Теперь у нас есть уравнение \(d(d-4q) = -4\), которое мы уже знаем как решить.

16. В итоге, для уравнения \(x^2 - 4x + 8 = 0\) не существуют действительные корни. Однако, существуют комплексные корни, выражаемые следующим образом:
\(x = 2 + 2i\) или \(x = 2 - 2i\).

б) Теперь перейдем ко второму вопросу: предоставьте уравнение в комплексных числах, которое записывается как \(x^2 + ix + 6\).

1. Дано уравнение \(x^2 + ix + 6\).

2. Мы можем заметить, что это квадратное уравнение, где \(a = 1\), \(b = i\), и \(c = 6\).

3. В нашем случае, так как коэффициент \(b\) является мнимым числом, мы уже имеем уравнение в комплексных числах.

Таким образом, уравнение \(x^2 + ix + 6\) уже является уравнением в комплексных числах.