а) Какова длина гипотенузы прямоугольного треугольника, если его катеты имеют длины 6 см и 8 см? б) Какова длина

Solnechnaya_Raduga

40

а) Для нахождения длины гипотенузы прямоугольного треугольника можно использовать теорему Пифагора. Теорема Пифагора утверждает, что квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Таким образом, для треугольника с катетами длиной 6 см и 8 см, мы можем применить теорему Пифагора и рассчитать длину гипотенузы:

\[ Гипотенуза^2 = Катет_1^2 + Катет_2^2 \]

\[ Гипотенуза^2 = 6^2 + 8^2 \]

\[ Гипотенуза^2 = 36 + 64 \]

\[ Гипотенуза^2 = 100 \]

Поскольку длина гипотенузы - это положительное число, мы можем найти квадратный корень из 100, чтобы получить итоговую длину гипотенузы:

\[ Гипотенуза = \sqrt{100} = 10 \]

Таким образом, длина гипотенузы прямоугольного треугольника равна 10 см.

б) Для нахождения длины гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами длиной 3/7 и 4/7, мы также можем использовать теорему Пифагора:

\[ Гипотенуза^2 = Катет_1^2 + Катет_2^2 \]

\[ Гипотенуза^2 = (3/7)^2 + (4/7)^2 \]

\[ Гипотенуза^2 = 9/49 + 16/49 \]

\[ Гипотенуза^2 = 25/49 \]

Теперь мы можем найти квадратный корень из 25/49, чтобы получить длину гипотенузы:

\[ Гипотенуза = \sqrt{25/49} = 5/7 \]

Таким образом, длина гипотенузы прямоугольного треугольника равна 5/7.

в) Теперь посмотрим на обратную ситуацию: гипотенуза известна, а один из катетов имеет длину 12 см. Для нахождения длины другого катета можно применить ту же теорему Пифагора:

\[ Гипотенуза^2 = Катет_1^2 + Катет_2^2 \]

В этой задаче мы знаем, что гипотенуза равна 13 см, и один из катетов равен 12 см. Пусть второй катет будет обозначен как x (неизвестная).

\[ 13^2 = 12^2 + x^2 \]

\[ 169 = 144 + x^2 \]

\[ x^2 = 169 - 144 \]

\[ x^2 = 25 \]

\[ x = \sqrt{25} = 5 \]

Таким образом, длина другого катета равна 5 см.

г) Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник с известной длиной гипотенузы. Пусть длина гипотенузы равна a см, а длина каждого катета будет обозначена как x см.

Так как треугольник равнобедренный, то длина обоих катетов равна x см. Для нахождения значения x, мы можем использовать теорему Пифагора:

\[ Гипотенуза^2 = Катет_1^2 + Катет_2^2 \]

\[ a^2 = x^2 + x^2 \]

\[ a^2 = 2x^2 \]

\[ x^2 = \frac{a^2}{2} \]

\[ x = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} \]

Таким образом, длины катетов равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой a будут равны \(\frac{a}{\sqrt{2}}\) см каждый.