а) Какова сумма координат точки с отрицательной абсциссой, лежащей на касательной к графику функции f(x)=4x^2+4x+4

Филипп

23

a) Чтобы найти сумму координат точки с отрицательной абсциссой, лежащей на касательной к графику функции \(f(x) = 4x^2 + 4x + 4\) и проходящей через начало координат, нам нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите производную функции \(f(x)\). Для этого возьмите производную каждого члена по отдельности. Производная константы равна нулю, а производная \(x^n\) равна \(nx^{n-1}\).
\[f"(x) = \frac{d}{dx}(4x^2) + \frac{d}{dx}(4x) + \frac{d}{dx}(4)\]
Упростив, получим:
\[f"(x) = 8x + 4\]

2. Найдите уравнение касательной к графику функции \(f(x)\) в точке с произвольной абсциссой \(x\) и с неизвестной ординатой \(y\). Для этого используйте формулу касательной:
\[y - f(x) = f"(x)(x - x_0)\]

Так как касательная проходит через начало координат, то \(x_0 = 0\). Подставим это значение в уравнение:
\[y - f(x) = f"(x)(x - 0)\]
\[y - f(x) = f"(x)x\]
\[y = f"(x)x + f(x)\]
\[y = (8x + 4)x + (4x^2 + 4x + 4)\]
\[y = 8x^2 + 4x + 4x^2 + 4x + 4\]
\[y = 12x^2 + 8x + 4\]

3. Найдите точки пересечения касательной с осью абсцисс (у которых ордината \(y = 0\)). Для этого приравняйте выражение для \(y\) к нулю:
\[0 = 12x^2 + 8x + 4\]
Данное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Таким образом, касательная не пересекает ось абсцисс.

4. Итак, когда мы не можем найти точку пересечения с осью абсцисс, возможно только одно объяснение: касательная проходит через начало координат. То есть, искомая точка находится в начале координат с координатами (0,0).

Следовательно, сумма координат искомой точки равна 0.

б) Для составления уравнения касательной, проходящей через начало координат, нам необходимо выполнить следующие шаги:

1. Сначала найдем производную функции \(f(x) = 4x^2 + 4x + 4\) так же, как в задаче a):
\[f"(x) = 8x + 4\]

2. Затем установим уравнение касательной, используя формулу касательной:
\[y - f(x) = f"(x)(x - x_0)\]

Так как касательная проходит через начало координат, то \(x_0 = 0\). Подставим это значение в уравнение:
\[y - f(x) = f"(x)(x - 0)\]
\[y - f(x) = f"(x)x\]
\[y = f"(x)x + f(x)\]
\[y = (8x + 4)x + (4x^2 + 4x + 4)\]
\[y = 8x^2 + 4x + 4x^2 + 4x + 4\]
\[y = 12x^2 + 8x + 4\]

3. Чтобы найти точки пересечения касательной с осью абсцисс, приравняем \(y\) к нулю:
\[0 = 12x^2 + 8x + 4\]

Решив это квадратное уравнение, получим два корня:
\[x = -\frac{1}{3}, \quad x = -1\]

4. Таким образом, найденные точки пересечения касательной с осью абсцисс являются точками с отрицательной абсциссой. Но нам нужно выбрать точку, сумма координат которой будет максимальной. В данном случае, искомой точкой является (-1, 0).

Следовательно, сумма координат искомой точки равна -1.