a) Каковы координаты вершин трапеции ОМНК при условии, что ОК равно 10, ОМ равно 1/2, МН равно 4? б) Какова длина

Васька

14

Хорошо, давайте решим эту задачу по порядку.

a) Для начала, нам нужно понять, какие координаты у вершин трапеции ОМНК. Для этого рассмотрим схему трапеции:

\[
\begin{array}{cccccc}
& & & N(x_2, y_2) & & \\
& & \underline{} \quad \underline{} & & \underline{} \quad \underline{} & \\
& O(x_1, y_1) & & M(x_3, y_3) & & \\
\end{array}
\]

Из условия задачи, мы знаем, что отрезок ОК равен 10, отрезок ОМ равен \(\frac{1}{2}\), и отрезок МН равен 4. Обратите внимание, что трапеция имеет параллельные стороны, но не обязательно прямоугольные углы.

Давайте рассмотрим отдельно координаты точек. Мы знаем, что вершина О находится на оси x, поэтому ее y-координата будет равна 0. Координаты точки К будут (0,0), так как эта точка находится на оси x.

Теперь рассмотрим точку М. У нас есть отрезок ОМ, который равен \(\frac{1}{2}\). Учитывая, что М находится на оси x, y-координата будет равна 0. Для определения x-координаты точки M, мы можем использовать соотношение:

\(\frac{{x_1 + x_3}}{2} = \frac{1}{2}\).

Зная, что x-координата точки О равна 0, упрощаем уравнение:

\(\frac{{0 + x_3}}{2} = \frac{1}{2}\).

Получается, что x-координата точки М равна 1. То есть М имеет координаты (1,0).

Теперь давайте рассмотрим точку Н. У нас есть отрезок МН, который равен 4. Зная, что y-координата точки М равна 0, мы можем использовать соотношение:

\(\frac{{y_2 + y_3}}{2} = 4\).

Подставляя известные значения, мы получаем:

\(\frac{{y_2 + 0}}{2} = 4\).

Отсюда y-координата точки Н равна 8. То есть Н имеет координаты (1,8).

Теперь у нас есть координаты всех вершин трапеции ОМНК. О – (0,0), М – (1,0), Н – (1,8), К – (0,0).

b) Чтобы найти длину отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции ОМНК, нам нужно найти середины диагоналей.

Для начала, рассмотрим диагональ ОН. Мы знаем, что координаты вершины О – (0,0) и вершины Н – (1,8). Чтобы найти середину диагонали, мы можем использовать формулу:
\[
\text{Середина} = \left(\frac{{x_1 + x_2}}{2}, \frac{{y_1 + y_2}}{2}\right).
\]
Применяя эту формулу, мы получаем:
\[
\text{Середина ОН} = \left(\frac{{0 + 1}}{2}, \frac{{0 + 8}}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, \frac{8}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, 4\right).
\]

Теперь рассмотрим диагональ МК. Мы знаем, что координаты вершины М – (1,0) и вершины К – (0,0). Применяя формулу для нахождения середины, мы получаем:
\[
\text{Середина МК} = \left(\frac{{1 + 0}}{2}, \frac{{0 + 0}}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, 0\right).
\]

Теперь у нас есть координаты середин диагоналей трапеции ОМНК. Мы можем найти длину отрезка, соединяющего эти середины, используя формулу для нахождения расстояния между двумя точками:
\[
\text{Длина отрезка} = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}.
\]

Применяя эту формулу, мы получаем:
\[
\text{Длина отрезка} = \sqrt{{\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\right)^2 + (4 - 0)^2}} = \sqrt{{0 + 16}} = \sqrt{{16}} = 4.
\]

Таким образом, длина отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции, равна 4.