Які значення радіусу кола, вписаного в правильний многокутник, та довжини сторони, якщо вони дорівнюють відповідно

Игоревна

49

Добре, давайте розглянемо дану задачу. Ми маємо правильний многокутник, у якого довжина сторони дорівнює 12 см. Знайдемо радіус кола, вписаного в многокутник.

Радіус кола, вписаного в правильний многокутник, співпадає з відстанню від центра кола до будь-якої сторони многокутника. Оскільки наш многокутник є правильним, то ця відстань є перпендикулярною до сторони многокутника, а також серединою сторони.

Це розуміючи, ми можемо поділити наш многокутник на 3 рівноправильні трикутники, які утворюють його. Кожен з цих трикутників має сторону довжиною 12 см.

У кожному рівносторонньому трикутнику, які ми отримали, ми знаємо, що висота є коливною відрізком, який змінюється від вершини до середини протилежної сторони. Виразимо це у вигляді формули для знаходження висоти рівностороннього трикутника:

\[h = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]

де \(h\) - висота, \(a\) - довжина сторони трикутника.

Підставивши \(a = 12 см\) у формулу, отримаємо:

\[h = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} см\]

Тепер ми знаємо, що радіус кола, вписаного в правильний многокутник, дорівнює висоті рівностороннього трикутника:

\[r = 6\sqrt{3} см\]

Таким чином, радіус кола, вписаного в наш правильний многокутник, дорівнює \(6\sqrt{3} см\).

Щоб знайти кількість сторін многокутника, звернемося до формули, яка пов"язує кількість сторін многокутника (\(n\)) з його радіусом (\(r\)):

\[n = \frac{360^\circ}{\arccos\left(1-\frac{r}{R}\right)}\]

де \(R\) - радіус кола, описаного навколо многокутника.

Ми знаємо радіус кола, вписаного в многокутник (\(r = 6\sqrt{3} см\)), але щоб знайти \(R\), необхідно довжину сторони многокутника.

Задача також надає нам довжину сторони многокутника, яка дорівнює \(8\sqrt{3} см\).

Тепер ми можемо побудувати співвідношення між радіусами кола, вписаного і описаного навколо многокутника:

\[r = R \cdot \cos\left(\frac{180^\circ}{n}\right)\]

Підставляючи відповідні значення, отримуємо:

\[6\sqrt{3} = R \cdot \cos\left(\frac{180^\circ}{n}\right)\]

Тепер можемо вирішити це рівняння щодо \(n\) та \(R\) для отримання кількості сторін многокутника та довжини кола, описаного навколо нього. Однак, для цього нам знадобиться математичне програмне забезпечення або калькулятор, оскільки це рівняння не можна вирішити ручним способом.

Отже, ми отримали радіус кола, вписаного в правильний многокутник, і виклали план для знаходження кількості сторін многокутника та довжини кола, описаного навколо нього.