а) Каковы значения x, для которых функция y = f(x) определена? б) Где функция y = f(x) обращается в ноль? в) Какие

Anastasiya

21

Чтобы ответить на данные вопросы, нам нужно исследовать функцию \( y = f(x) \) более подробно. Рассмотрим каждый вопрос по порядку:

а) Для определения значений \( x \), при которых функция \( f(x) \) определена, нужно обратить внимание на возможные ограничения в определении функции. Если в определении функции нет деления на ноль, арктангенса с аргументом, не лежащим в его области определения, и других подобных ограничений, то функция \( f(x) \) определена для всех значений \( x \).

б) Чтобы определить, где функция \( f(x) \) обращается в ноль, нужно найти значения \( x \), при которых \( f(x) = 0 \). Решите уравнение \( f(x) = 0 \), используя методы алгебры или аналитической геометрии. Результаты будут являться значениями \( x \), при которых функция \( f(x) \) обращается в ноль.

в) Для определения промежутков, на которых функция \( f(x) \) имеет одинаковый знак, нужно найти точки, где функция меняет свой знак. Можно найти корни функции \( f(x) \) и использовать их, чтобы разбить область определения функции на интервалы. Затем нужно проверить знак функции на каждом интервале. Если функция положительна на интервале, то знак функции на этом интервале будет положительным. Если функция отрицательна на интервале, то знак функции будет отрицательным. Собирая полученные интервалы с одинаковым знаком, мы определяем промежутки, на которых функция имеет одинаковый знак.

г) Чтобы найти точки максимума и минимума функции \( f(x) \), нужно исследовать значения функции на возрастание и убывание. Если функция сначала возрастает и затем убывает, то точка, где функция переходит из возрастания в убывание, будет точкой максимума. Если функция сначала убывает и затем возрастает, то точка, где функция переходит из убывания в возрастание, будет точкой минимума. Для определения этих точек необходимо проанализировать производную функции или использовать другие методы.

д) Чтобы определить, какие промежутки функции \( f(x) \) монотонны, нужно исследовать изменение функции на возрастание и убывание. Если функция всегда возрастает на определенном промежутке, то мы говорим, что функция монотонно возрастает на этом промежутке. Если функция всегда убывает на промежутке, то она монотонно убывает. Мы можем найти эти промежутки, исследуя производную функции и нахождение ее значений.

ж) Значения, которые функция \( f(x) \) принимает, зависят от области определения функции и ее поведения на каждой точке этой области. Чтобы найти наибольшие и наименьшие значения, нам нужно исследовать функцию на экстремумы (максимумы и минимумы). Мы можем найти эти точки, как было указано в пункте г), и подставить значения этих точек в функцию \( f(x) \). Наибольшее значение будет соответствовать максимуму, а наименьшее значение - минимуму.

е) Чтобы определить значения \( y \), которые функция \( f(x) \) может принимать, нужно рассмотреть область значений, которую определяет функция. Область значений может быть ограничена, например, если функция имеет верхнюю и нижнюю границы. Мы можем использовать полученные значения из пункта ж) для определения максимального и минимального значения функции и, таким образом, указать диапазон значений \( y \), которые функция \( f(x) \) может принимать.