A magnitude of vector A is 2, magnitude of vector B is 5, and the angle between vectors A and B is π/6. Express a unit
A magnitude of vector A is 2, magnitude of vector B is 5, and the angle between vectors A and B is π/6. Express a unit vector C0, perpendicular to vectors A and B, satisfying a) the triple (A, B, C0) is right-handed, and b) the triple (B, C0, A) is left-handed.
Евгеньевна 69
Для решения этой задачи мы можем использовать векторное произведение (векторное умножение) двух векторов. Векторное произведение векторов A и B обозначается как A × B и задается следующей формулой:\[A × B = |A| |B| sin(θ) n\]
где |A| и |B| - длины векторов A и B,
θ - угол между векторами A и B,
n - единичный вектор, перпендикулярный плоскости, образованной векторами A и B.
Для начала найдем векторное произведение векторов A и B. Угол между векторами A и B равен π/6.
\[A × B = |A| |B| sin(π/6) n\]
\[A × B = 2 \cdot 5 \cdot sin(π/6) n\]
\[A × B = 10 \cdot \frac{1}{2} n\]
\[A × B = 5n\]
Таким образом, векторное произведение векторов A и B равно 5n.
Теперь, чтобы найти единичный вектор C₀, перпендикулярный векторам A и B, мы можем использовать найденное векторное произведение.
Для этого нам нужно найти норму (длину) вектора 5n:
\(|5n| = 5\)
Запишем единичный вектор C₀:
\[C₀ = \frac{5n}{|5n|}\]
Подставив значения, получим:
\[C₀ = \frac{5n}{5}\]
\[C₀ = n\]
Таким образом, единичный вектор C₀ равен вектору n, который является перпендикулярным векторам A и B.
Теперь перейдем к условиям a) и b) задачи.
a) Нам нужно, чтобы тройка (A, B, C₀) была правосторонней. Это означает, что векторное произведение векторов A и B должно быть направлено в сторону вектора C₀. Мы уже определили, что векторное произведение A и B равно 5n. Таким образом, чтобы тройка была правосторонней, направление вектора C₀ должно быть такое же, как направление вектора 5n.
Таким образом, единичный вектор C₀, удовлетворяющий условию a), равен n.
b) Нам нужно, чтобы тройка (B, C₀, A) была левосторонней. Это означает, что векторное произведение векторов B и C₀ должно быть направлено в противоположную сторону по сравнению с вектором A. Мы уже определили, что векторное произведение A и B равно 5n. Поскольку вектор C₀ равен n, чтобы тройка была левосторонней, векторное произведение векторов B и C₀ должно быть направлено в противоположную сторону, то есть -5n.
Таким образом, единичный вектор C₀, удовлетворяющий условию b), также равен -n.
Итак, ответ на задачу:
a) Единичный вектор C₀, удовлетворяющий условию a), равен n.
b) Единичный вектор C₀, удовлетворяющий условию b), равен -n.