а) Напишите закон распределения случайной величины X, которая представляет собой количество отремонтированных машин
а) Напишите закон распределения случайной величины X, которая представляет собой количество отремонтированных машин.
б) Составьте функцию распределения случайной величины X и постройте график этой функции.
в) Найдите математическое ожидание M(X).
б) Составьте функцию распределения случайной величины X и постройте график этой функции.
в) Найдите математическое ожидание M(X).
Liska 62
а) Для случайной величины X, которая представляет собой количество отремонтированных машин, закон распределения будет биномиальным распределением. Биномиальное распределение применяется в ситуациях, где имеется последовательность независимых испытаний с двумя возможными исходами (успех или неудача) и вероятность успеха p остается постоянной для всех испытаний.Закон распределения для X будет выглядеть следующим образом:
\[P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]
где:
- \(P(X = k)\) - вероятность того, что количество отремонтированных машин будет равно k,
- \(C_n^k\) - число сочетаний из n по k,
- \(p\) - вероятность успеха (отремонтировать одну машину),
- \(1-p\) - вероятность неудачи (не отремонтировать одну машину),
- \(n\) - общее количество испытаний.
б) Функция распределения случайной величины X (F(x)) определяется как сумма вероятностей всех значений X, меньших или равных x. Для биномиального распределения она может быть найдена следующим образом:
\[F(x) = P(X \leq x) = \sum_{k=0}^x P(X = k)\]
Составим функцию распределения для нашей случайной величины X:
\[F(x) = \sum_{k=0}^x C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]
где:
- \(F(x)\) - функция распределения случайной величины X,
- \(C_n^k\) - число сочетаний из n по k,
- \(p\) - вероятность успеха (отремонтировать одну машину),
- \(1-p\) - вероятность неудачи (не отремонтировать одну машину),
- \(n\) - общее количество испытаний.
Чтобы построить график функции распределения, можно вычислить её значения для различных значений x и отобразить их на координатной плоскости.
в) Математическое ожидание (или среднее значение) случайной величины X можно найти с помощью следующей формулы:
\[E(X) = \sum_{k=0}^n k \cdot P(X = k)\]
где:
- \(E(X)\) - математическое ожидание случайной величины X,
- \(k\) - количество отремонтированных машин,
- \(P(X = k)\) - вероятность того, что количество отремонтированных машин будет равно k.
Для нашей случайной величины X:
\[E(X) = \sum_{k=0}^n k \cdot C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]
Математическое ожидание представляет собой среднее значение количества отремонтированных машин и может интерпретироваться как ожидаемый результат в данном примере.