А) Найдите координаты центра окружности, если известен диаметр AB с координатами точек A(3;7) и B(5;-1). b) Запишите

Milana

8

А) Чтобы найти координаты центра окружности, достаточно найти среднее арифметическое координат точек A и B. Для этого сложим соответствующие координаты и разделим их на 2.

Координаты центра равны:
\[
\left(\frac{{3+5}}{2}, \frac{{7+(-1)}}{2}\right)
\]

Выполняя вычисления, получим:
\[
\left(\frac{8}{2}, \frac{6}{2}\right)
\]
\[
\left(4, 3\right)
\]

Таким образом, координаты центра окружности равны (4, 3).

б) Уравнение окружности может быть записано в виде:
\[
(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2
\]

где (a, b) - координаты центра, а r - радиус окружности.

Мы уже нашли координаты центра (4, 3).
Теперь нам нужно найти радиус. Радиус равен половине длины диаметра AB. Длина диаметра AB можно вычислить с помощью теоремы Пифагора:

\[
AB = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}
\]

Подставляя значения координат точек A(3;7) и B(5;-1), получим:

\[
AB = \sqrt{{(5 - 3)^2 + (-1 - 7)^2}}
\]

Выполняя вычисления, получим:

\[
AB = \sqrt{{2^2 + (-8)^2}} = \sqrt{{4 + 64}} = \sqrt{{68}} = 2\sqrt{{17}}
\]

Таким образом, радиус окружности равен \(r = \frac{{2\sqrt{{17}}}}{2} = \sqrt{{17}}\).

Теперь мы можем записать уравнение окружности с использованием найденных значений:

\[
(x-4)^2 + (y-3)^2 = (\sqrt{{17}})^2
\]

или, более упрощенно:

\[
(x-4)^2 + (y-3)^2 = 17
\]

Ответ: а) Координаты центра окружности - (4, 3).
б) Уравнение окружности - \((x-4)^2 + (y-3)^2 = 17\).