а) Найдите значение Sn, где Sn = C0n−C(n−1)1+C(n−2)2−… для n=3. б) Определите сумму Sn, где Sn = C0n−C(n−1)1+C(n−2)2−…

Horek

26

Хорошо! Давайте посмотрим на каждую часть задачи подробно.

а) Нам дано значение \( n = 3 \), и нам нужно найти значение \( S_3 \), где

\[ S_n = C_0^n - C_{(n-1)}^1 + C_{(n-2)}^2 - \ldots \]

Для начала, давайте вычислим каждое слагаемое в последовательности \( S_3 \):
\[
\begin{align*}
S_3 &= C_0^3 - C_2^1 + C_1^2 \\
&= \frac{3!}{0!(3-0)!} - \frac{3!}{2!(3-2)!} + \frac{3!}{1!(3-1)!} \\
&= \frac{6}{1} - \frac{6}{2} + \frac{6}{1} \\
&= 6 - 3 + 6 \\
&= 9
\end{align*}
\]

Таким образом, при \( n = 3 \), значение \( S_3 \) равно 9.

б) Теперь мы должны определить сумму \( S_n \), где

\[ S_n = C_0^n - C_{(n-1)}^1 + C_{(n-2)}^2 - \ldots \]

Нам нужно найти общую сумму всех слагаемых в последовательности \( S_n \).
Так как нам не задано значение \( n \), мы можем записать общую сумму в общем виде.

Обозначим \( S \) как общую сумму:
\[ S = S_0 + S_1 + S_2 + \ldots \]

Теперь давайте рассмотрим каждое слагаемое и посмотрим, как оно соотносится с общей суммой \( S \). Мы заметим, что каждое слагаемое будет влиять на знак общей суммы. Если слагаемое имеет нечетный индекс, оно будет вычитаться из общей суммы, а если индекс четный, оно будет прибавляться к общей сумме.

То есть, каждый член \( S_n \) с нечетным индексом будет влиять на знак:
\[
S = S_0 - S_1 + S_2 - S_3 + S_4 - \ldots
\]

Таким образом, сумма \( S \) в некотором смысле будет представлять собой разность всех слагаемых последовательности:

\[
S = S_0 - (S_1 - S_2) - (S_3 - S_4) - \ldots
\]

Теперь, чтобы найти сумму \( S \), нам нужно выразить каждое слагаемое \( S_n \) через \( C \). Для этого мы можем воспользоваться формулой биномиального коэффициента \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \).

Мы знаем, что

\[
S_n = C_0^n - C_{(n-1)}^1 + C_{(n-2)}^2 - \ldots
\]

Теперь, заметим, что \( C_{(n-1)}^1 = C_n^1 = n \), \( C_{(n-2)}^2 = C_{(n-1)}^2 \), и так далее. Мы можем записать эти слагаемые так:

\[
S_n = C_0^n - C_n^1 + C_{(n-1)}^2 - \ldots
\]

Теперь, выразим каждое слагаемое через биномиальные коэффициенты:

\[
\begin{align*}
S_0 &= C_0^0 \\
S_1 &= C_1^0 - C_1^1 \\
S_2 &= C_2^0 - C_2^1 + C_2^2 \\
S_3 &= C_3^0 - C_3^1 + C_3^2 - C_3^3 \\
\end{align*}
\]

Теперь, если мы внимательно рассмотрим эти слагаемые, мы заметим, что они соответствуют разложению бинома:

\[
\begin{align*}
S_0 &= (1 + (-1))^0 = 1 \\
S_1 &= (1 + (-1))^1 = 0 \\
S_2 &= (1 + (-1))^2 = 0 \\
S_3 &= (1 + (-1))^3 = 0 \\
\end{align*}
\]

Таким образом, независимо от значения \( n \), сумма \( S \) всегда будет равна 1.

Надеюсь, это помогло! Если у вас возникнут ещё вопросы, не стесняйтесь задавать!