а) Определите асимптоты функции F(x) = 3x + 10 / 2x + 4; b) Найдите точки пересечения графика функции с осями

Звук

14

Хорошо, я помогу вам решить данную задачу. Начнем с пункта а).

a) Чтобы найти асимптоты функции F(x), нам нужно исследовать её поведение при больших и малых значениях x.

Приблизим функцию F(x) с помощью предельных значений:

\[\lim_{{x \to \infty}} \frac{{3x + 10}}{{2x + 4}}\]

Будем применять правило Лопиталя для нахождения этого предела. Возьмем производные числителя и знаменателя. Получим:

\[\lim_{{x \to \infty}} \frac{{3}}{{2}} = \frac{{3}}{{2}}\]

Таким образом, получаем горизонтальную асимптоту \(y = \frac{{3}}{{2}}\) при \(x \to \infty\).

Теперь рассмотрим предел функции при \(x \to -\infty\):

\[\lim_{{x \to -\infty}} \frac{{3x + 10}}{{2x + 4}}\]

Опять применяем правило Лопиталя, и получаем:

\[\lim_{{x \to -\infty}} \frac{{3}}{{2}} = \frac{{3}}{{2}}\]

Таким образом, получаем горизонтальную асимптоту \(y = \frac{{3}}{{2}}\) при \(x \to -\infty\).

b) Чтобы найти точки пересечения графика функции с осями координат, мы должны решить уравнение \(F(x) = 0\).

Для начала рассмотрим ось x и решим уравнение \(2x + 4 = 0\). Вычитая 4 из обеих частей, получим:

\(2x = -4\)

Делим обе части на 2:

\(x = -2\)

Таким образом, точка пересечения с осью x равна (-2, 0).

Теперь рассмотрим ось y и решим уравнение \(3x + 10 = 0\). Вычитаем 10 из обеих частей уравнения:

\(3x = -10\)

Делим обе части на 3:

\(x = -\frac{{10}}{{3}}\)

Таким образом, точка пересечения с осью y равна \(-\frac{{10}}{{3}}\) или приближенно -3.33.

c) Теперь, используя данные о пересечении с осями, мы можем выбрать две произвольные точки на графике функции.

Например, возьмем точки (-2, 0) и (0, 2). Обратим внимание, что при подстановке значений x=-2 и x=0 в функцию F(x), мы получаем соответствующие значения y=0 и y=2.

d) Теперь давайте построим график функции F(x):

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y \\ \hline
-\infty & \frac{{3}}{{2}} \\ \hline
-2 & 0 \\ \hline
0 & 2 \\ \hline
\infty & \frac{{3}}{{2}} \\ \hline
\end{array}
\]

Теперь нарисуем точки на координатной плоскости и соединим их линией. Получим такой график:

plaintext

                    |

                    |

                    |

                    |

     ----------------------   (0,2)

                    |

                    |

                    |

                    |

     - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

        

                   ( -2,0)

Надеюсь, эти пошаговые объяснения были полезны для понимания задачи и помогли вам решить ее.