a) Подтвердите равенство угла между плоскостью bkd1 и плоскостью abc, которое равно arccos(16/(5*корень17

Fedor

58

a) Чтобы подтвердить равенство угла между плоскостью bkd1 и плоскостью abc, которое равно \(\arccos(\frac{16}{5\sqrt{17}})\), мы можем воспользоваться свойствами скалярного произведения векторов и нормированных векторов.

Для начала давайте найдем нормальные вектора для каждой из плоскостей. Нормальный вектор для плоскости bkd1 обозначим как \(\vec{n}_1\), а для плоскости abc обозначим как \(\vec{n}_2\).

Плоскость bkd1 задана точками B, K и D1. Определим векторы \(\vec{u}_1\) и \(\vec{v}_1\) на плоскости bkd1, выбрав точку B в качестве начала координат. Найдем их разности:

\(\vec{u}_1 = \vec{K} - \vec{B}\) и \(\vec{v}_1 = \vec{D_1} - \vec{B}\).

Аналогично, плоскость abc задана точками A, B и C1. Определим векторы \(\vec{u}_2\) и \(\vec{v}_2\) на плоскости abc, выбрав точку A в качестве начала координат. Их разности равны:

\(\vec{u}_2 = \vec{B} - \vec{A}\) и \(\vec{v}_2 = \vec{C_1} - \vec{A}\).

Затем найдем нормальные векторы \(\vec{n}_1\) и \(\vec{n}_2\) для соответствующих плоскостей, вычислив векторное произведение векторов \(\vec{u}_1\) и \(\vec{v}_1\) для плоскости bkd1, и векторное произведение векторов \(\vec{u}_2\) и \(\vec{v}_2\) для плоскости abc.

Теперь вычислим скалярное произведение нормализованных векторов, чтобы найти косинус угла между \(\vec{n}_1\) и \(\vec{n}_2\):

\[\cos(\theta) = \frac{{\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2}}{{\|\vec{n}_1\| \|\vec{n}_2\|}}\].

Итак, для заданного угла \(\theta = \arccos(\frac{16}{5\sqrt{17}})\) равенство угла между плоскостью bkd1 и плоскостью abc будет подтверждено, если \(\cos(\theta) = \frac{{\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2}}{{\|\vec{n}_1\| \|\vec{n}_2\|}}\).

b) Чтобы определить площадь сечения параллелепипеда abcda1b1c1d1 плоскостью bkd1, мы можем воспользоваться свойством площади прямоугольника, образованного двумя векторами, параллельными плоскости сечения.

Сначала найдем два вектора, лежащих в плоскости bkd1 и параллельных сечению. Выберем точку B в качестве начала координат и определим векторы \(\vec{u_3}\) и \(\vec{v_3}\), соответствующие точкам K и D1:

\(\vec{u_3} = \vec{K} - \vec{B}\) и \(\vec{v_3} = \vec{D_1} - \vec{B}\).

Затем вычислим векторное произведение \(\vec{u_3}\) и \(\vec{v_3}\), чтобы получить вектор, нормальный к плоскости сечения и параллельный плоскости abcd:

\(\vec{n_3} = \vec{u_3} \times \vec{v_3}\).

Площадь сечения определяется как проекция площади прямоугольника, образованного векторами \(\vec{u_3}\) и \(\vec{v_3}\), на направляющий вектор \(\vec{n_3}\):

\[S_{\text{сечения}} = \|(\vec{u_3} \times \vec{v_3}) \cdot \vec{n_3}\|.\]

Таким образом, площадь сечения параллелепипеда abcda1b1c1d1 плоскостью bkd1 равна \|(\vec{u_3} \times \vec{v_3}) \cdot \vec{n_3}\|. Определите значения \(\vec{u_3}\), \(\vec{v_3}\), и \(\vec{n_3}\), затем найдите величину этого выражения, чтобы получить площадь сечения.