А) Решите данное уравнение: 2cos^2x + 3sinx - 3/cosx = 0. б) Найдите значения x, которые являются корнями данного

Yablonka

36

Конечно, давайте решим данное уравнение пошагово.

а) Имеем уравнение:

\[2 \cos^2{x} + 3 \sin{x} - \frac{3}{\cos{x}} = 0\]

Для начала преобразуем данное уравнение, чтобы упростить его вид.

Умножим обе части уравнения на \(\cos{x}\), чтобы избавиться от знаменателя:

\[2 \cos^3{x} + 3 \sin{x} \cos{x} - 3 = 0\]

После этого преобразуем \(\sin{x} \cos{x}\), используя формулу двойного угла:

\[3 \cdot \frac{1}{2} \sin{2x} - 3 = 0\]

Теперь продолжим упрощать уравнение:

\[3 \sin{2x} - 6 = 0\]

\[3 \sin{2x} = 6\]

Теперь разделим обе части уравнения на 3:

\[\sin{2x} = 2\]

Мы знаем, что \(\sin{2x}\) может принимать значения от -1 до 1 включительно. Однако, чтобы получить более подробное решение, найдем все значения \(x\), для которых \(\sin{2x} = 2\).

Используя обратную функцию для синуса, находим:

\[2x = \arcsin{2}\]

Теперь делим обе части уравнения на 2:

\[x = \frac{\arcsin{2}}{2}\]

б) Теперь найдем значения \(x\), которые являются корнями данного уравнения и принадлежат отрезку \([5\pi/2, 6\pi/2]\).

Подставим значения из этого отрезка в уравнение и найдем корни:

\[x = \frac{\arcsin{2}}{2}\]

\[x = \frac{\pi}{2}\]

\[x = \frac{3\pi}{2}\]

Таким образом, значения \(x\), которые являются корнями данного уравнения и принадлежат отрезку \([5\pi/2, 6\pi/2]\), равны \(\frac{\pi}{2}\) и \(\frac{3\pi}{2}\).