а) Составное ли число a+b+1, если x1 и x2 по модулю больше 1? б) Какие корни имеет уравнение f(x) = x^2 + ax + b, если

Svetlyachok_V_Nochi

25

а) Для определения, является ли число \(a+b+1\) составным, мы должны рассмотреть его делители. Пусть \(a\) и \(b\) - некоторые целые числа, а \(x_1\) и \(x_2\) - корни уравнения \(f(x) = x^2 + ax + b\).

Если \(x_1\) и \(x_2\) больше 1 по модулю, значит они положительные и \(f(x)\) имеет дискриминант:

\[
D = a^2 - 4b
\]

Если \(D > 0\), то есть два различных корня уравнения \(f(x)\), значит, \(a+b+1\) является составным числом.

Если \(D = 0\), то есть два равных корня, значит, \(a+b+1\) будет простым числом.

Если \(D < 0\), то есть комплексные корни, искомое число \(a+b+1\) будет комплексным числом.

б) Известно, что \(f(17) = 0\), то есть \(17^2 + 17a + b = 0\). Мы также знаем, что один из корней является простым числом.

Для нахождения значения \(a\) и \(b\) представим уравнение в виде произведения двух линейных множителей:

\[
(x - x_1)(x - x_2) = 0
\]

Раскрыв скобки, получим:

\[
x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0
\]

Сравнивая с уравнением \(f(x) = x^2 + ax + b\), получаем:

\[
a = -(x_1 + x_2)
\]
\[
b = x_1x_2
\]

Из условия известно, что \(f(17) = 0\), поэтому подставив \(x = 17\) в уравнение \(f(x)\), получим:

\[
17^2 + 17a + b = 0
\]

Подставляем значения \(a\) и \(b\) из предыдущих выражений:

\[
17^2 - (x_1 + x_2)17 + x_1x_2 = 0
\]

Если один из корней является простым числом, то можно посчитать возможные значения \(x_1\) и \(x_2\), проверить их и подставить в уравнение. Таким образом, найдем числа \(x_1\) и \(x_2\), а затем \(a\) и \(b\).

в) Найдем условия, чтобы корни уравнения \(x^2 + (4p+19)x + 7q+ 30 = 0\) были целыми числами и числа \(4p+19\) и \(7q+30\) были простыми числами.

По теореме Виета, сумма корней равна \(-\frac{b}{a}\) и произведение корней равно \(\frac{c}{a}\). В данном случае, сумма корней равна \(-(4p+19)\), а произведение равно \(\frac{7q+ 30}{1} = 7q+30\).

Чтобы корни были целыми числами, \(-(4p+19)\) и \(7q+30\) должны быть делителями свободного члена (произведения корней) уравнения.

Также, чтобы \(4p+19\) было простым числом, \(4p+19\) не должно иметь делителей, отличных от 1 и самого числа \(4p+19\). Аналогично, чтобы \(7q+30\) было простым числом, \(7q+30\) не должно иметь делителей, отличных от 1 и самого числа \(7q+30\).

Как результат, нужно выбирать целые числа \(p\) и \(q\) таким образом, чтобы \(-(4p+19)\) и \(7q+30\) были делителями \(7q+30\), а числа \(4p+19\) и \(7q+30\) были простыми числами.