А1. Каковы значения РМ и НК, если известно, что точка А является серединой отрезка РК, АВ параллельно

Золотой_Орел

10

Задача А1.
Дано:
- Точка А является серединой отрезка РК.
- АВ параллельно CD.
- BC параллельно AD.
- BC параллельно PM.
- CD не пересекает НК.

Мы хотим определить значения РМ и НК.

Решение:
Обратим внимание на условие, что АВ параллельно CD и BC параллельно AD. Это означает, что треугольник АВС и треугольник CDA подобны. По свойству подобных треугольников, мы можем утверждать, что отношение длин соответствующих сторон равно.

Пусть РМ = x, тогда МК = x, так как точка А является серединой отрезка РК.

Также, пусть НК = y, тогда НД = y, так как точка Д является серединой отрезка НК.

Учитывая, что BC параллельно PM, по свойству параллельных прямых, у нас есть соотношение PM : BC = НК : НД.

Подставляя известные значения, получаем:

x : BC = y : y

Отбрасывая коэффициенты пропорциональности, получаем:

x = BC

Таким образом, значение РМ равно длине отрезка BC.

Теперь рассмотрим треугольник CDA. Учитывая, что CD не пересекает НК, согласно свойству параллельных прямых, у нас есть соотношение AD : BD = НК : НД.

Подставляя известные значения, получаем:

AD : BD = y : y

Отбрасывая коэффициенты пропорциональности, получаем:

AD = BD

Таким образом, значения РМ и НК равны длинам отрезков BC и AD соответственно.

Итак, РМ = BC, НК = AD.

Ответ: Значение РМ равно длине отрезка BC, значение НК равно длине отрезка AD.

Задача А2.
Дано:
- Точка Ник является серединой сторон AB и BC треугольника АВС.

Требуется:
- Доказать, что AC параллельно линии е.

Решение:
Поскольку Ник является серединой стороны AB, мы можем сказать, что НА = НK = КB.

Аналогично, Ник также является серединой стороны BC, поэтому НВ = КН = НС.

Теперь рассмотрим треугольник АВС. У нас есть две пары равных сторон: AB=BC и НА=НК=КВ, что делает треугольник АВС равнобедренным.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Таким образом, ∠А = ∠С.

Так как углы соответственно равны, то линия е (продолжение стороны АС) будет параллельна исходной стороне АВ.

Итак, мы доказали, что AC параллельно линии е.

Ответ: AC параллельно линии е.

В1.
Дано:
- Четыре точки A, B, C, D, не лежащие в одной плоскости.

Требуется:
- Доказать, что любые две из трех прямых, соединяющих середины отрезков AB и CD, AC и BD, AD и BC, лежат в одной плоскости.

Решение:
Пусть М, Н, О - середины отрезков AB, CD, AC соответственно. Мы хотим доказать, что прямые МН, МО и НО лежат в одной плоскости.

Рассмотрим треугольник МОН. У него сторона МО параллельна стороне CD и равна ей в два раза (по свойству серединного перпендикуляра), а сторона НО параллельна стороне AC и равна ей в два раза (также по свойству серединного перпендикуляра).

Таким образом, треугольник МОН имеет две пары параллельных сторон, что делает его плоским.

Кроме того, М - середина отрезка AB, а Н - середина отрезка CD. Следовательно, прямая МН является серединным перпендикуляром к отрезку AB, что означает, что она лежит в плоскости проходящей через А и В.

Аналогично, рассмотрим треугольник МНО. Треугольник МНО обладает такими же свойствами, как и треугольник МОН, поэтому он также плоский и лежит в плоскости проходящей через C и D.

И также, рассмотрим треугольник МОС. У него сторона МО параллельна стороне BD и равна ей в два раза, а сторона ОС параллельна стороне AD и равна ей в два раза (снова по свойству серединного перпендикуляра).

Таким образом, треугольник МОС также является плоским.

Исходя из вышеизложенного, все три треугольника (МОН, МНО, МОС) лежат в одной плоскости.

Ответ: Любые две из трех прямых, соединяющих середины отрезков AB и CD, AC и BD, AD и BC, лежат в одной плоскости.