Какой радиус имеет окружность, вписанная в данный квадрат, если радиус окружности, описанной вокруг квадрата, равен

Solnechnyy_Den

26

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать свойства вписанной и описанной окружностей. Первое, что нам нужно сделать, - это понять, как связаны радиус вписанной и описанной окружностей с сторонами квадрата.

По определению, вписанная окружность касается каждой из сторон квадрата в одной точке. Представим себе такую окружность внутри квадрата.

Квадрат имеет четыре равные стороны, поэтому длина каждой стороны равна. Обозначим длину стороны квадрата как \(s\).

Радиус вписанной окружности равен половине длины диагонали квадрата. Чтобы найти длину диагонали, мы можем использовать теорему Пифагора. Диагональ квадрата является гипотенузой прямоугольного треугольника, у которого катеты равны стороне квадрата.

Зная это, мы можем составить следующее уравнение:

\[
d^2 = s^2 + s^2
\]

где \(d\) - длина диагонали, \(s\) - длина стороны квадрата.

Решим это уравнение для \(d\):

\[
2s^2 = d^2
\]

\[
d = \sqrt{2s^2}
\]

Теперь мы можем использовать известное значение радиуса описанной окружности, равное \(4\sqrt{2}\), и найти длину диагонали:

\[
4\sqrt{2} = \sqrt{2s^2}
\]

Возводим обе части уравнения в квадрат:

\[
(4\sqrt{2})^2 = (\sqrt{2s^2})^2
\]

\[
32 = 2s^2
\]

Разделим обе части на 2:

\[
16 = s^2
\]

Извлечем квадратный корень:

\[
s = 4
\]

Теперь у нас есть значение стороны квадрата. Чтобы найти радиус вписанной окружности, нужно разделить длину стороны на 2:

\[
\text{{Радиус вписанной окружности}} = \frac{s}{2} = \frac{4}{2} = 2
\]

Таким образом, радиус вписанной окружности равен 2.