ABCD - a parallelogram, BE : EC = 3:2; DK : KC = 1:4. Express vectors AE, AK, DE, BK, EK in terms of x and y. (AB=x

Магнитный_Зомби_661

44

Чтобы решить эту задачу, начнем с выражения вектора AE. Поскольку ABCD - параллелограмм, вектор AE будет равен сумме векторов AB и BE.

\[ \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BE} \]

Так как AB = x и BE:EC = 3:2, мы можем выразить вектор BE и EC:

\[ \overrightarrow{BE} = \frac{3}{3+2} \cdot \overrightarrow{BC} = \frac{3}{5} \cdot \overrightarrow{AB} \]
\[ \overrightarrow{EC} = \frac{2}{3+2} \cdot \overrightarrow{BC} = \frac{2}{5} \cdot \overrightarrow{AB} \]

Теперь мы можем подставить это в выражение для вектора AE:

\[ \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \frac{3}{5} \cdot \overrightarrow{AB} \]

Суммируя эти два вектора, получим:

\[ \overrightarrow{AE} = \left( 1 + \frac{3}{5} \right) \overrightarrow{AB} = \frac{8}{5} \overrightarrow{AB} \]

Теперь рассмотрим вектор AK. Чтобы найти его, мы можем использовать аналогичный подход и выразить его через векторы AB и BK.

\[ \overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BK} \]

Так как DK:KC = 1:4, мы можем найти вектор BK и KC:

\[ \overrightarrow{BK} = \frac{1}{1+4} \cdot \overrightarrow{BC} = \frac{1}{5} \cdot \overrightarrow{AB} \]
\[ \overrightarrow{KC} = \frac{4}{1+4} \cdot \overrightarrow{BC} = \frac{4}{5} \cdot \overrightarrow{AB} \]

Подставляя эти значения в выражение для вектора AK, получим:

\[ \overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{5} \cdot \overrightarrow{AB} = \frac{6}{5} \overrightarrow{AB} \]

Теперь перейдем к вектору DE. Мы знаем, что DE = BA, так как это параллелограмм. Таким образом:

\[ \overrightarrow{DE} = \overrightarrow{AB} = x \]

Наконец, рассмотрим вектор BK. Мы можем использовать аналогичный подход, используя векторы BC и KC:

\[ \overrightarrow{BK} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{KC} \]

Подставляя значения векторов BC и KC:

\[ \overrightarrow{BK} = \overrightarrow{AB} + \frac{4}{5} \cdot \overrightarrow{AB} = \frac{9}{5} \overrightarrow{AB} \]

Итак, в итоге, мы получили следующие выражения для векторов:

\[ \overrightarrow{AE} = \frac{8}{5} \overrightarrow{AB} \]
\[ \overrightarrow{AK} = \frac{6}{5} \overrightarrow{AB} \]
\[ \overrightarrow{DE} = x \]
\[ \overrightarrow{BK} = \frac{9}{5} \overrightarrow{AB} \]

Где AB=x и AD=y.