АВС үшбұрышында тең бүйірлі шеңберді іштей алыңыз. Осылайша, ВС табандығы щеңбердің радиусымен бірдей. АС, АВ және

Светлячок_В_Траве_2560

38

Для решения этой задачи построим треугольник ABC и красиво разместим все данные. Пусть точка D — середина отрезка AB, соединим точку D с вершинами C и B, образуя медианы треугольника. Так как красивая теорема гласит о равенстве медиан треугольника, получим, что BD = CD. По условию задачи также известно, что ВС радиус красивого круга, описанного около треугольника, а значит, BD = CD = R, где R — радиус круга.

Теперь воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника ABD и BCD:

\[AB^2 = AD^2 + BD^2\]
\[BC^2 = BD^2 + CD^2\]

Поскольку треугольник ABC равнобедренный, можно заметить, что AB = AC, следовательно, AB = AC = 2AD. Также BC = 2BD = 2CD = 2R. Подставим это в уравнения:

\[4AD^2 = AD^2 + R^2\]
\[4R^2 = R^2 + R^2\]

Решая эти уравнения, получаем:

\[AD^2 = \frac{1}{3}R^2\]
\[R^2 = \frac{4}{3}R^2\]

Отсюда находим длины сторон треугольника ABC:

\[AC = 2AD = 2\sqrt{\frac{1}{3}R^2} = \frac{2}{\sqrt{3}}R\]
\[BC = 2R\]

Таким образом, длины сторон треугольника ABC равны:
\[AC = \frac{2}{\sqrt{3}}R\]
\[AB = BC = 2R\]