Докажите, что прямая BM перпендикулярна к плоскости, на которой находится равнобедренный треугольник ABC (AB

Вечерняя_Звезда

44

Для начала, давайте рассмотрим, что означает, что прямая BM перпендикулярна к плоскости, на которой находится треугольник ABC.

Перпендикулярность означает, что две линии, в данном случае прямая BM и плоскость, пересекаются под прямым углом (90 градусов). Таким образом, чтобы доказать, что прямая BM перпендикулярна к плоскости треугольника ABC, нам потребуется доказать, что прямая BM пересекает эту плоскость под прямым углом.

Для начала, вспомним, что M является серединой стороны AC треугольника ABC. Из этого следует, что M разделяет сторону AC пополам на две равные части. Мы обозначим серединную точку M и направление вектора MQ также.

Теперь, поскольку треугольник ABC равнобедренный, у нас есть AB = BC. Это означает, что сторона AB равна стороне BC. Обозначим точку, где прямая MQ пересекает сторону AB, как точку P.

Теперь у нас есть два случая, которые мы можем рассмотреть:

1. Если точка P совпадает с точкой B, это означает, что прямая MQ уже проходит через точку B. В этом случае, прямая BM уже лежит на плоскости треугольника ABC и следовательно, уже перпендикулярна к ней.

2. Если точка P не совпадает с точкой B, это означает, что прямая MQ пересекает сторону AB внутри треугольника ABC. В этом случае, нам нужно доказать, что прямая BM, которая является отрезком между точкой B и серединой стороны AC, пересекает плоскость треугольника ABC.

Чтобы это сделать, докажем, что векторы BM и BN, где N - любая точка на плоскости треугольника ABC, перпендикулярны.

Для начала построим векторы BM и BN на плоскости треугольника ABC. Один конец этих векторов будет в точке B (начале), а другой - в точке M и N соответственно (конечные точки).

Теперь, чтобы доказать перпендикулярность векторов BM и BN, мы должны показать, что их скалярное произведение равно нулю.

Поскольку вектор BM соединяет точку B с серединой стороны AC, мы можем записать его в виде \(\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AM}\)

Здесь \(\overrightarrow{BA}\) - вектор, соединяющий точки B и A, а \(\overrightarrow{AM}\) - вектор, соединяющий точки A и M.

Аналогично, вектор BN можно записать в виде \(\overrightarrow{BN} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AN}\)

Теперь мы можем рассчитать скалярное произведение векторов BM и BN:

\(\overrightarrow{BM} \cdot \overrightarrow{BN} = (\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AM}) \cdot (\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AN})\)

Раскроем это произведение и упростим его:

\(\overrightarrow{BM} \cdot \overrightarrow{BN} = \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{AN} + \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AN}\)

Поскольку AB = BC, вектор \(\overrightarrow{BA}\) может быть представлен как \(\overrightarrow{BC}\). Обозначим длину стороны AB (или BC) как \(l\).

\(\overrightarrow{BM} \cdot \overrightarrow{BN} = \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AN} + \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AN}\)

Распишем скалярное произведение каждого слагаемого:

\(\overrightarrow{BM} \cdot \overrightarrow{BN} = l^2 + l \cdot \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AN} + l \cdot \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AN}\)

Теперь заметим, что у нас равнобедренный треугольник ABC, поэтому AM = MC. Также мы знаем, что \(\overrightarrow{AN} = -\overrightarrow{NC}\), потому что эти векторы являются противоположными по направлению и равными по длине.

Теперь можно записать:

\(\overrightarrow{BM} \cdot \overrightarrow{BN} = l^2 + l \cdot \overrightarrow{BC} \cdot (-\overrightarrow{NC}) + l \cdot \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AN}\)

По свойству коммутативности скалярного произведения, мы можем поменять местами векторы слагаемого \(\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AN}\), получив \(\overrightarrow{AN} \cdot \overrightarrow{BC}\):

\(\overrightarrow{BM} \cdot \overrightarrow{BN} = l^2 - l \cdot \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{NC} + l \cdot \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AN}\)

Теперь, поскольку AM = MC и \(\overrightarrow{AN} = -\overrightarrow{NC}\), мы можем записать:

\(\overrightarrow{BM} \cdot \overrightarrow{BN} = l^2 - l \cdot \overrightarrow{BC} \cdot (-\overrightarrow{MC}) + l \cdot \overrightarrow{MC} \cdot \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{MC} \cdot (-\overrightarrow{NC})\)

Упростим это выражение:

\(\overrightarrow{BM} \cdot \overrightarrow{BN} = l^2 + l \cdot \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{MC} + l \cdot \overrightarrow{MC} \cdot \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{MC} \cdot \overrightarrow{NC}\)

Так как BC = -CB, \(\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{MC}\) может быть записано как \(\overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{MC}\), и \(\overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{MC}\) может быть интерпретировано как произведение длин векторов и косинуса угла между ними, которое равно 0, поскольку длина вектора CB равна 0.

Теперь мы можем записать:

\(\overrightarrow{BM} \cdot \overrightarrow{BN} = l^2 + 0 + 0 - \overrightarrow{MC} \cdot \overrightarrow{NC}\)

Вспомним, что мы хотим показать, что скалярное произведение векторов BM и BN равно нулю, чтобы доказать перпендикулярность. Из данного выражения видно, что если \(\overrightarrow{MC} \cdot \overrightarrow{NC}\) равно 0, то и \(\overrightarrow{BM} \cdot \overrightarrow{BN}\) будет равно 0.

В нашем случае, так как точка M - середина стороны AC, \(\overrightarrow{MC}\) и \(\overrightarrow{NC}\) будут противоположными по направлению и равными по длине векторами. Это означает, что их скалярное произведение будет равно 0.

Таким образом, мы доказали, что \(\overrightarrow{BM} \cdot \overrightarrow{BN} = 0\), что означает, что векторы BM и BN перпендикулярны друг другу.

Теперь мы можем сделать вывод, что прямая BM перпендикулярна к плоскости, на которой находится треугольник ABC, так как линия BM соединяет точку B с серединой стороны AC и пересекает плоскость треугольника ABC под прямым углом.