Авсд трапецияның периметрі 64см болса, деректі бұрышы 60° болатын дс: мр = 1:3 байланысы мен тауарымдығы арқылы авсд

Lisichka123

54

Для начала, давайте вспомним формулы, связанные с трапецией. Периметр трапеции вычисляется как сумма длин всех ее сторон. Для трапеции ABDC с основаниями AB и CD, а также боковыми сторонами AD и BC, периметр можно записать следующим образом:

\[P = AB + BC + CD + AD\]

Также, если мы имеем дело с равнобокой трапецией, то дополнительно известно, что боковые стороны AD и BC равны между собой.

Дано, что периметр трапеции равен 64 см, а длина прямого угла между основаниями равна 60°. Также, известно, что соотношение между длиной оснований и соответствующими боковыми сторонами равно 1:3.

Предположим, что длина боковых сторон AD и BC равна `x` сантиметрам. Тогда длина оснований AB и CD будет равна `3x` сантиметрам.

Используя эти данные, мы можем записать уравнение для периметра трапеции:

\[64 = (3x) + x + (3x) + x\]

Раскрыв скобки и собрав одинаковые слагаемые, получим:

\[64 = 8x\]

Делая обратную операцию — деление обеих частей уравнения на 8, найдем значение `x`:

\[x = \frac{64}{8} = 8\]

Теперь, зная значение `x`, мы можем найти длину всех сторон трапеции:

\[AB = 3x = 3 \cdot 8 = 24\]
\[CD = x = 8\]
\[AD = BC = x = 8\]

Таким образом, мы получили, что длина основания AB равна 24 см, длина боковой стороны AD равна 8 см, а длина противолежащей стороны CD также равна 8 см.

Чтобы найти изменение площади трапеции, воспользуемся формулой:

\[S = \frac{(AB + CD) \cdot h}{2}\]

Где `S` - площадь, `AB` и `CD` - длины оснований трапеции, а `h` - высота трапеции.

Однако, нам неизвестна высота трапеции. При пошаговом решении, мы должны вспомнить свойства равнобокой трапеции. Очевидно, что высота перпендикулярна основаниям и делит трапецию на два равных треугольника.

Таким образом, мы можем воспользоваться формулой для нахождения высоты равнобокой трапеции:

\[h = \frac{CD}{2} \cdot \tan(\frac{\angle ACD}{2})\]

Где `h` - высота, `CD` - длина противолежащей стороны трапеции, а `\angle ACD` - угол между противолежащей стороной и основанием.

Зная, что `\angle ACD = 60°`, мы можем вычислить высоту:

\[h = \frac{8}{2} \cdot \tan(\frac{60}{2}) = 4 \cdot \tan(30) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{4\sqrt{3}}{3}\]

Теперь, подставим полученные значения в формулу для площади:

\[S = \frac{(24 + 8) \cdot \frac{4\sqrt{3}}{3}}{2} = \frac{32\sqrt{3}}{3}\]

Итак, изменение площади равнобокой трапеции с заданными параметрами составляет \(\frac{32\sqrt{3}}{3}\) квадратных сантиметров.