Бұл кезде кабырғасымен қосылатын фигураның ауданын табадыңыз

Елизавета

51

Конечно! Чтобы найти площадь фигуры, описываемой кругом, с помощью кабырги, нужно разделить эту фигуру на более простые геометрические фигуры, для которых мы знаем формулы для вычисления площади.

В данном случае, фигура, описываемая кругом с радиусом \(r\), можно разделить на треугольник, квадрат и сектор круга.

1. Найдем площадь треугольника. Площадь треугольника равна \(\frac{{основание \cdot высота}}{2}\). В трапеции высота равна радиусу \(r\), а основание - это длина прямой стороны треугольника.
Вычислим основание треугольника. Прямая сторона треугольника равна длине дуги круга между концами основания - это часть длины окружности, и равна \(r \cdot \theta\), где \(\theta\) - центральный угол данного треугольника в радианах. Так как в данном случае треугольник равносторонний, то \(\theta = \frac{2\pi}{3}\) радиан. Тогда основание треугольника равно \(r \cdot \frac{2\pi}{3}\).
Теперь найдем площадь треугольника: \(S_{треугольника} = \frac{{r \cdot \frac{2\pi}{3} \cdot r}}{2} = \frac{{r^2 \pi}}{3}\).

2. Найдем площадь квадрата. Сторона квадрата равна длине окружности круга, то есть \(2\pi r\). Тогда площадь квадрата равна \(S_{квадрата} = (2\pi r)^2 = 4\pi^2 r^2\).

3. Найдем площадь сектора круга. Площадь сектора круга равна дроби площади круга, образованного сектором, с учетом центрального угла данного сектора. Центральный угол сектора равен \(2\pi - \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}\) радиан. Тогда площадь сектора равна \(S_{сектора} = \frac{{\frac{4\pi}{3} \cdot \pi r^2}}{2\pi} = \frac{2r^2}{3}\).
(take a break of steps)

Теперь найдем площадь фигуры, описываемой кругом с помощью кабырги. Для этого сложим площади треугольника, квадрата и сектора:
\[S_{фигуры} = S_{треугольника} + S_{квадрата} + S_{сектора}\]
Подставим значения, которые мы получили:
\[S_{фигуры} = \frac{{r^2 \pi}}{3} + 4\pi^2 r^2 + \frac{2r^2}{3}\]
Вынесем общий множитель \(r^2\):
\[S_{фигуры} = \frac{{\pi}}{3} r^2 + 4\pi^2 r^2 + \frac{2}{3} r^2\]
\[S_{фигуры} = \left(\frac{{\pi}}{3} + 4\pi^2 + \frac{2}{3}\right) r^2\]

Таким образом, площадь фигуры, описываемой кругом с помощью кабырги, равна \(\left(\frac{{\pi}}{3} + 4\pi^2 + \frac{2}{3}\right) r^2\).
Ответ: Площадь фигуры равна \(\left(\frac{{\pi}}{3} + 4\pi^2 + \frac{2}{3}\right) r^2\).