Більярдна куля масою 100 г рухається налітком зі швидкістю 1 м/с, при цьому напрям її руху утворює кут 30 градусів щодо

Zolotoy_List

52

Для розв"язання даної задачі, спочатку знайдемо початковий і кінцевий горизонтальні компоненти швидкості кулі \(v_{ix}\) і \(v_{fx}\), а також вертикальну компоненту швидкості \(v_{iy}\) і \(v_{fy}\).

Горизонтальна компонента швидкості \(v_{ix}\) за годинний стрілець цього руху рівна \(v_{ix} = v \cdot \cos(\theta)\), де \(v\) - початкова швидкість кулі (1 м/с), \(\theta\) - кут, який утворює початкова швидкість з горизонтом (30 градусів). Підставляючи відомі значення, отримуємо \(v_{ix} = 1 \cdot \cos(30^\circ) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}\) м/с.

Вертикальна компонента швидкості \(v_{iy}\) рівна \(v_{iy} = v \cdot \sin(\theta)\), де \(v\) - початкова швидкість кулі (1 м/с), \(\theta\) - кут, який утворює початкова швидкість з горизонтом (30 градусів). Підставляючи відомі значення, отримуємо \(v_{iy} = 1 \cdot \sin(30^\circ) = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\) м/с.

Кінцева горизонтальна компонента швидкості \(v_{fx}\) за годинний стрілець цього руху також дорівнює \(v_{ix}\), тобто \(v_{fx} = \frac{\sqrt{3}}{2}\) м/с.

Оскільки момент зіткнення є абсолютно пружним, то куля зберігає енергію. Отже, сумарна кінетична енергія кулі до зіткнення повинна бути рівна сумарній кінетичній енергії після зіткнення.

Сумарна кінетична енергія кулі перед зіткненням розраховується за формулою \(E_{i} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_{i}^2\), де \(m\) - маса кулі (100 г = 0,1 кг), \(v_{i}\) - початкова швидкість кулі. Підставляючи відомі значення, отримуємо \(E_{i} = \frac{1}{2} \cdot 0,1 \cdot (1)^2 = \frac{1}{2} \cdot 0,1 = 0,05\) Дж.

Сумарна кінетична енергія кулі після зіткнення розраховується також за формулою \(E_{f} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_{f}^2\), де \(m\) - маса кулі (100 г = 0,1 кг), \(v_{f}\) - кінцева швидкість кулі після зіткнення. Згідно умови, куля повертається назад з тією самою швидкістю, тому \(v_{f} = -v_{ix} = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) м/с. Підставляємо відомі значення, отримуємо \(E_{f} = \frac{1}{2} \cdot 0,1 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} \cdot 0,1 \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{8} \cdot 0,1 = \frac{1}{80}\) Дж.

Збереження енергії дає рівність \(E_{i} = E_{f}\), тому \(\frac{1}{2} \cdot 0,1 = \frac{1}{80}\). Знаходимо силу тиску \(P\) за формулою \(P = \frac{F}{S}\), де \(F\) - сила тиску, \(S\) - площа поверхні борту. Площа поверхні борту визначається формулою \(S = \pi \cdot (2r) \cdot h\), де \(r\) - радіус кулі, \(h\) - висота борту. Підставляємо відомі значення радіусу \(r = \frac{d}{2}\) (де \(d\) - діаметр кулі), і висоти борту \(h\), отримуємо \(S = \pi \cdot (2 \cdot \frac{10}{1000}) \cdot \frac{10}{1000}\) м\(^2\).

Розраховуємо силу тиску, підставивши відомі значення:
\[P = \frac{F}{\pi \cdot (2 \cdot \frac{10}{1000}) \cdot \frac{10}{1000}}\]

Щоб знайти силу тиску \(F\), спочатку розрахуємо різницю кінетичної енергії \(E_{i} - E_{f}\):
\[E_{i} - E_{f} = \frac{1}{2} \cdot 0,1 - \frac{1}{80}\]

Отриману різницю помножимо на 2, оскільки сила тиску діє на борт протягом часу зіткнення, який рівний 0,02 с:
\[F = 2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot 0,1 - \frac{1}{80}\right) \cdot \frac{1}{0,02} = 0,1 - \frac{1}{40} = \frac{3}{8}\] Н

Поділимо отримане значення сили тиску на площу поверхні борту, щоб отримати середню силу тиску:
\[P = \frac{\frac{3}{8}}{\pi \cdot (2 \cdot \frac{10}{1000}) \cdot \frac{10}{1000}}\]

Розраховуючи це вираз, отримуємо значення середньої сили тиску на борт під час зіткнення.

Щоб отримати числове значення, використаємо числові значення для \(\pi\) та виконаємо необхідні обчислення. Значення середньої сили тиску буде виражено в Н/м\(^2\) або Па.