Будь ласка. Це дуже важливо. Якщо відстань від точки перетину медіан трикутника АВС до сторони АВ дорівнює 10 см і

Снежок

39

Добре, давайте розглянемо цю задачу крок за кроком.

1. Знайдемо довжину медіани трикутника АВС, якою є відрізок, що сполучає середину сторони трикутника з протилежним вершником.

Для того, щоб знайти відрізок, який є медіаною, необхідно скористатися властивістю медіани: вона ділить сторону трикутника на дві рівні частини. Тобто, довжина відрізка АМ, де М - точка перетину медіани трикутника зі стороною, буде дорівнювати половині довжини сторони АВ.

Оскільки АВ = 6 см, то АМ = 6 см / 2 = 3 см.

2. Дайте розглянемо трикутник АМС, де М - точка перетину медіан.

Оскільки М - центральна точка медіани трикутника, заданої умовою, відстань від неї до сторони АВ дорівнює 10 см.

Оскільки відрізок МВ є медіаною трикутника, то МВ ділить сторону АС на дві рівні частини. Таким чином, довжина АС становить 20 см.

3. Шукаємо площу трикутника АВС.

Для знаходження площі трикутника знайдемо висоту, проведену до сторони АВ.

Трикутник АВМ - прямокутний трикутник, оскільки медіана є висотою відносно сторони. Тому, за теоремою Піфагора, знаходимо довжину СМ: \[СМ = \sqrt{АС^2 - АМ^2} = \sqrt{20^2 - 3^2} = \sqrt{400 - 9} = \sqrt{391}.\]

Тепер, площа трикутника АВС обчислюється як половина добутку довжини сторони трикутника на його висоту, опущену на цю сторону: \[S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot АВ \cdot СМ = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \sqrt{391} = 3\sqrt{391}.\]

Таким чином, площа трикутника АВС дорівнює \(3\sqrt{391}\) квадратних сантиметрів.