1. Каковы радиусы трех окружностей, которые касаются друг друга внешним образом и окружностей радиуса R изнутри?

Mila

36

1. Чтобы найти радиусы трех окружностей, которые касаются друг друга внешним образом и окружностей радиуса R изнутри, нам понадобится использовать некоторые геометрические свойства.

Пусть \(r_1\), \(r_2\), и \(r_3\) - радиусы трех внешних окружностей, а \(R\) - радиус внутренних окружностей. Мы должны найти значения \(r_1\), \(r_2\), и \(r_3\) в зависимости от \(R\).

Применим следующие шаги:

Шаг 1: Радиус наружной окружности, касающейся всех трех окружностей

По свойству касания внешней окружности к двум внутренним окружностям, радиус наружной окружности равен сумме радиусов двух внутренних окружностей и радиуса внешней окружности. Изобразим это геометрически:

\[r_1 = r_2 + R + r_3\]

Шаг 2: Радиус наружной окружности, касающейся двух внутренних окружностей

Согласно свойству касания двух окружностей, радиус наружной окружности равен сумме радиусов двух окружностей и удвоенного расстояния между их центрами. Изобразим это:

\[r_2 = R + R + 2r_3\]

Шаг 3: Подставляем значение \(r_2\) в уравнение из Шага 1:

\[r_1 = (R + R + 2r_3) + R + r_3 \Rightarrow r_1 = 3R + 3r_3\]

Шаг 4: Подставляем значение \(r_1\) в уравнение из Шага 1:

\[3R + 3r_3 = r_2 + R + r_3 \Rightarrow 2R + 2r_3 = r_2\]

Шаг 5: Подставляем значение \(r_2\) из Шага 4 в уравнение из Шага 2:

\[R + R + 2r_3 = R + R + 2r_3 \Rightarrow 4r_3 = 0 \Rightarrow r_3 = 0\]

Шаг 6: Подставляем значение \(r_3\) в уравнения из Шагов 1 и 4:

\[r_2 = 2R\]
\[r_1 = 3R\]

Таким образом, радиусы трех окружностей будут следующими:

\(r_3 = 0\)

\(r_2 = 2R\)

\(r_1 = 3R\)

2. Чтобы найти сумму длин дуг, ограничивающих область, закрашенную на рисунке, нам также пригодятся геометрические свойства.

Давайте разобьем закрашенную область на три сектора, где каждый сектор является дугой одной из окружностей:

Пусть \(s_1\), \(s_2\), и \(s_3\) - длины дуг, ограничивающих каждый из секторов, а \(l\) - окружность, ограничивающая всю закрашенную область.

Чтобы найти сумму длин дуг, нам нужно сложить длины каждой дуги.

Так как каждая дуга является частью окружности, длина дуги может быть вычислена при помощи формулы:

\[s = \frac{{\theta}}{{360}} \times 2\pi r\]

где \(s\) - длина дуги, \(\theta\) - центральный угол в градусах, \(r\) - радиус окружности.

Применяя это к каждой дуге:

Для первой и второй окружностей:

\[s_1 = \frac{{120}}{{360}} \times 2\pi r_1 = \frac{{1}}{{3}} \times 2\pi \cdot 3R = 2\pi R\]
\[s_2 = \frac{{120}}{{360}} \times 2\pi r_2 = \frac{{1}}{{3}} \times 2\pi \cdot 2R = \frac{{4}}{{3}} \pi R\]

Для третьей окружности:

Так как радиус \(r_3\) равен нулю, дуга имеет нулевую длину (т.е., \(s_3 = 0\)).

Теперь мы можем найти сумму длин дуг:

\[Сумма\,длин\,дуг = s_1 + s_2 + s_3 = 2\pi R + \frac{{4}}{{3}} \pi R + 0 = \frac{{10}}{{3}} \pi R\]

Таким образом, сумма длин дуг, ограничивающих затененную область, равна \(\frac{{10}}{{3}} \pi R\).